Rationele nummers eigenschappen, voorbeelden en bewerkingen

De rationele nummers Het zijn alle cijfers die kunnen worden verkregen als de verdeling van twee hele getallen. Voorbeelden van rationele getallen zijn: 3/4, 8/5, -16/3 en die die in de volgende figuur verschijnen. In een rationeel nummer wordt het quotiënt aangegeven, dat mogelijk is om het later te doen indien nodig.

In de figuur wordt elk object weergegeven, rond voor comfort. Als we het in 2 gelijke delen willen verdelen, zoals rechts, hebben we twee helften en elke is 1/2.

Figuur 1. Rationele getallen worden gebruikt om het geheel in verschillende delen te verdelen. Bron: freesvg.

Door het in 4 gelijke delen te delen, zullen we 4 stuks verkrijgen en elk is 1/4 waard, zoals in de afbeelding van het midden. En als u het in 6 gelijke delen moet verdelen, zou elk onderdeel 1/6 waard zijn, die we in de afbeelding aan de linkerkant zien.

Natuurlijk kunnen we het ook verdelen in twee niet -gelijkwaardige onderdelen, we kunnen bijvoorbeeld 3/4 delen behouden en 1/4 deel besparen. Andere divisies zijn ook mogelijk, zoals 4/6 delen en 2 delen. Het belangrijkste is dat de som van alle delen 1 is.

Op deze manier is het duidelijk dat je met rationele cijfers dingen kunt verdelen, tellen en verspreiden zoals voedsel, geld, land en allerlei objecten in breuken. En dus is de hoeveelheid bewerkingen die met de nummers kunnen worden gedaan, uitgebreid.

Rationele getallen kunnen ook decimaal worden uitgedrukt, zoals te zien is in de volgende voorbeelden:

1/2 = 0,5

1/3 = 0.3333…

3/4 = 0,75

1/7 = 0.142857142857142857…

Later geven we aan hoe we met voorbeelden van de ene weg naar de andere kunnen gaan.

[TOC]

Rationele nummers eigenschappen

De rationele getallen, waarvan we met de letter Q zullen aangeven, hebben de volgende eigenschappen:

-Q bevat natuurlijke getallen n en hele n nummers.

Rekening houdend met dat elk nummer naar Het kan worden uitgedrukt als het quotiënt met elkaar en 1, het is gemakkelijk om te zien dat er ook natuurlijke nummers en de gehele getallen zijn.

Het natuurlijke nummer 3 kan dus worden geschreven als een fractie, en ook -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5/-1 = -(5/1)

Op deze manier is dat een numerieke set die een groter aantal getallen omvat, iets dat zeer nodig is, de "ronde" -nummers zijn niet voldoende om alle mogelijke bewerkingen te beschrijven.

Kan u van dienst zijn: 90 divisors: wat zijn en uitleg

-Rationele getallen kunnen worden toegevoegd, afgetrokken, vermenigvuldigen en delen, het resultaat van de bewerking is een rationeel nummer: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Tussen elke paar rationele getallen is er altijd een ander rationeel nummer te vinden. In feite is er tussen twee rationele getallen rationeel oneindig. 

Tussen rationele 1/4 en 1/2 zijn bijvoorbeeld rationeel 3/10, 7/20, 2/5 (en nog veel meer), die kunnen worden geverifieerd als ze als decimalen worden uitgedrukt.

-Elk rationeel nummer kan worden uitgedrukt als: i) een geheel getal of ii) een beperkte decimaal (strikt) of krant: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0.1666666…

-Hetzelfde aantal kan worden weergegeven door oneindige equivalente fracties en ze zijn allemaal tot Q. Laten we naar deze groep kijken:

Allen vertegenwoordigen het decimaal 0.428571 ..

-Onder alle equivalente fracties die hetzelfde aantal vertegenwoordigen, is de onherleidbare fractie, de eenvoudigste van allemaal, de Canonieke vertegenwoordiger van dat aantal. De canonieke vertegenwoordiger van het vorige voorbeeld is 3/7.

Figuur 2.- De Q -set rationele nummers. Bron: Wikimedia Commons. UVM Eduardo artur/cc by-s (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/4.0).

Voorbeelden van rationele getallen

-Eigen breuken, die waarin de teller minder is dan de noemer:

-Onjuiste breuken, waarvan de teller groter is dan de noemer:

-Natuurlijke getallen en hele getallen:

-Gelijkwaardige breuken:

Decimale weergave van een rationeel nummer

Wanneer de teller is verdeeld tussen de noemer is de decimale vorm van het rationele nummer. Bijvoorbeeld:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111 ..

6/11 = 0.545454…

In de eerste twee voorbeelden is de hoeveelheid decimalen beperkt. Dit betekent dat wanneer de divisie wordt gemaakt, een rust wordt verkregen.

Aan de andere kant, in de volgende twee is het aantal decimalen oneindig en daarom zijn de suspensieve punten geplaatst. In het laatste geval is er een patroon in de decimalen. In het geval van fractie 1/9 wordt de figuur 1 voor onbepaalde tijd herhaald, terwijl het in 6/11 54 is.

Het kan u van dienst zijn: frequentiekans: concept, hoe het wordt berekend en voorbeelden

Wanneer dit gebeurt, wordt gezegd dat het decimaal krant is en als volgt wordt aangeduid door circumflex -accent:

Transformeer een decimaal in fractie

Als het een beperkte decimaal is, wordt de komma eenvoudig geëlimineerd en wordt de noemer de eenheid gevolgd door zoveel nullen als cijfers de decimaal hebben. Bijvoorbeeld om decimaal 1 te transformeren.26 in fractie is het als volgt geschreven:

1.26 = 126/100

Dan wordt de resulterende fractie tot het maximum vereenvoudigd:

126/100 = 63/50

Als het decimaal eerst onbeperkt is, wordt de periode geïdentificeerd. Vervolgens worden deze stappen gevolgd om de resulterende breuk te vinden:

-De teller is de aftrekking tussen het getal (geen coma of circumflex -accent) en het deel dat niet het circumflex -accent draagt.

-De noemer is een geheel getal met zoveel 9 als figuren die er zijn onder de circumflex, en zoveel of als figuren in het decimale deel zijn ze niet onder de circumflex.

Laten we deze procedure volgen om het decimale getal te transformeren 0.428428428 ... in fractie.

-Eerst wordt de periode geïdentificeerd, wat de reeks is die wordt herhaald: 428.

-Vervolgens wordt de werking van het aftrekken van het nummer zonder een coma of een accent gedaan: 0428 van het onderdeel dat geen circumflex heeft, dat is 0. Dit is 428 - 0 = 428.

-De noemer is gebouwd, wetende dat er onder de circumflex 3 figuren zijn en ze zijn allemaal onder de circumflex. Daarom is de noemer 999.

-Ten slotte wordt de fractie gevormd en vereenvoudigd indien mogelijk:

0.428 = 428/999

Het is niet mogelijk om meer te vereenvoudigen.

Rationele nummers operaties

- Toevoegen en aftrekken

Breuken met dezelfde noemer

Wanneer de breuken dezelfde noemer hebben, voeg ze toe en/of aftrekken is ze heel eenvoudig, omdat de teller eenvoudig algebraïsch is toegevoegd, waardoor ze als noemer van het resultaat worden toegevoegd aan dezelfde van de toevoegingen. Ten slotte, indien mogelijk, is het vereenvoudigd.

Voorbeeld

Voer de volgende algebraïsche som uit en vereenvoudig het resultaat:

De resulterende fractie is al onherleidbaar.

Breuken met verschillende noemer

In dit geval worden de adders vervangen door equivalente breuken met dezelfde noemer en vervolgens is de procedure al beschreven. 

Voorbeeld

Voeg algebraïsch de volgende rationele cijfers toe die het resultaat vereenvoudigen:

Kan u van dienst zijn: randen van een kubus

De stappen zijn:

-Bepaal het minimale gemeenschappelijke multiple (MCM) van noemers 5, 8 en 3:

MCM (5,8,3) = 120

Dit zal de noemer van de resulterende fractie zijn zonder te vereenvoudigen.

-Voor elke fractie: deel de MCM tussen de noemer en vermenigvuldig door de teller. Het resultaat van deze bewerking wordt, met zijn respectieve teken, in de fractienummer geplaatst. Op deze manier wordt een breuk equivalent aan het origineel verkregen, maar met de MCM als noemer.

Voor de eerste fractie is de teller bijvoorbeeld gebouwd als volgt: (120/5) x 4 = 96 en wordt verkregen:

Ga op dezelfde manier verder voor de resterende breuken:

Ten slotte worden de equivalente breuken vervangen zonder hun teken te vergeten en wordt de algebraïsche som van de tellers gemaakt:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96+210-440+24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Vermenigvuldiging en deling

Vermenigvuldiging en verdeling worden gedaan volgens de hieronder getoonde regels:

figuur 3. Regels om de vermenigvuldiging en verdeling van rationele getallen uit te voeren. Bron: f. Zapata.

In elk geval is het belangrijk om te onthouden dat vermenigvuldiging commutatief is, wat betekent dat de volgorde van de factoren het product niet verandert. Dit gebeurt niet met de divisie, dus u moet ervoor zorgen dat u de volgorde tussen dividend en deler respecteert.

voorbeeld 1

Voer de volgende bewerkingen uit en vereenvoudig het resultaat:

a) (5/3) x (8/15)

B) (-4/5) ÷ (2/9)

Antwoord op

(5/3) x (8/15) = (5 x 8)/(3 x 15) = 15/120 = 1/8

Antwoord B

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9)/(5 x 2) = -36/10 = -18/5

Voorbeeld 2     

Luisa had $ 45. Hij bracht een tiende door met het kopen van een boek en 2/5 delen van wat er in een shirt was overgebracht. Hoeveel geld heeft Luisa nog? Het resultaat uiten in onherleidbare fractie.

Oplossing

De boekkosten (1/10) x 45 $ = 0.1 x 45 $ = 4.5 $

Daarom bleef Luisa bij:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

Met dat geld ging Luisa naar de kledingwinkel en kocht het shirt, wiens prijs is:

(2/5) x 40.5 $ = 16.2 $

Nu heeft Luisa in de portefeuille:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

Om het in fractie uit te drukken, is het zo geschreven:

24.3 = 243/10

Dat is onherleidbaar.

Referenties

1. Baldor, een. 1986. Rekenkundig. Codex -edities en distributies.
2. Carena, m. 20199999999999999999999999999999999999999111 2019 2019 20199999 E moetene9999191999998311133113331322111152222222111231311111111111122111111111121111111111111111111111111111 -11111111111a's11111a's1a's1a's1a's1a's1a's D1a's Dam dat ’TO. Wiskundehandleiding. Nationale Universiteit van de kust.
3. Figuera, j. 20000000000000000000. Wiskunde 8. Co-bo edities.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Rationele nummers. Hersteld van: Cimanet.UOC.Edu.
6. Rationele nummers. Opgehaald uit: WebDelProfesor.Ulla.gaan.