Axiomatische methode

Wat is de axiomatische methode?

Hij axiomatische methode Het is een formele procedure die door de wetenschap wordt gebruikt, waardoor uitspraken of stellingen axioma's worden geformuleerd, met elkaar verbonden door een aftrekbaarheidsrelatie en die de basis vormen van de hypothesen of voorwaarden van een bepaald systeem.

Deze algemene definitie moet worden ingelijst in de evolutie die deze methodologie in de geschiedenis heeft gehad. Ten eerste is er een oude of inhoudsmethode, geboren in het oude Griekenland uit Euclid en vervolgens ontwikkeld door Aristoteles.

Ten tweede, al in de negentiende eeuw, het uiterlijk van een geometrie met andere axioma's dan die van Euclid. En ten slotte, de formele of moderne axiomatische methode, waarvan de maximale exponent David Hilbert was.

Na de ontwikkeling ervan in de loop van de tijd is deze procedure de basis geweest van de deductieve methode met behulp van de geometrie en logica waar deze is ontstaan. Het is ook gebruikt in de natuurkunde, chemie en biologie.

En zelfs toegepast binnen de juridische wetenschap, sociologie en politieke economie. Momenteel is de belangrijkste toepassingsfeer echter wiskunde en symbolische logica en sommige takken van fysica zoals thermodynamica, mechanica, onder andere disciplines.

Kenmerken van de axiomatische methode

Hoewel het fundamentele kenmerk van deze methode de formulering van axioma's is, zijn deze niet altijd op dezelfde manier overwogen.

Er zijn er enkele die kunnen worden gedefinieerd en willekeurig kunnen worden gebouwd. En anderen, volgens een model waarin de intuïtief gegarandeerde waarheid wordt overwogen.

Om specifiek te begrijpen waar dit verschil en de gevolgen ervan uit bestaat, is het noodzakelijk om de evolutie van deze methode te reizen.

Oude of inhoud axiomatische methode 

Is gevestigd in het oude Griekenland tegen de 5e eeuw.C. De toepassingssfeer is geometrie. Het fundamentele werk van deze fase is de elementen van Euclid, hoewel wordt geacht dat Pythagoras vóór hem al de axiomatische methode had bevallen.

Kan u van dienst zijn: Kapitalisme in Mexico: geschiedenis, kenmerken, gevolgen

Zo nemen de Grieken bepaalde feiten als axioma's, zonder dat er logisch bewijs nodig is, dat wil zeggen zonder de noodzaak van demonstratie, omdat ze voor hen een duidelijke waarheid zijn op zichzelf.

Euclid presenteert van zijn kant vijf axioma's voor geometrie:

1. DICE TWEE PUNTEN Er is een lijn die ze bevat of verenigt.
2. Elk segment kan continu worden uitgebreid op een onbeperkte lijn aan beide kanten.
3. U kunt een omtrek tekenen met een centrum overal en elke straal.
4. Rechte hoeken zijn allemaal hetzelfde.
5. Het nemen van een rechte lijn en elk punt dat er niet in zit, er is een rechte lijn parallel aan dat en die op dat punt bevat. Dit axioma staat later bekend als het axioma van parallellen en is ook vermeld als: door een extern punt naar een lijn kunt u een enkele parallel tekenen.

Zowel Euclid als latere wiskundigen zijn het er echter mee eens dat het vijfde axioma niet zo duidelijk is als de andere 4. Zelfs tijdens de Renaissance probeert het de vijfde van de andere 4 af te leiden, maar het is niet mogelijk.

Dit veroorzaakte dat in de negentiende eeuw, die de vijf handhaafden aanhangers van Euclidische geometrie en degenen die de vijfde ontkenden, degenen waren die de niet -euclidische geometrieën creëerden.

Niet -Euclidian axiomatisch

Ze zijn precies Nikolai Ivánovich Lobachevski, János Bolyai en Johann Karl Friedrich Gauss die de mogelijkheid zien om, zonder contradictie, een geometrie te bouwen die afkomstig is van Axiom -systemen dan die van Euclides. Dit vernietigt het geloof in de absolute of a priori waarheid van de axioma's en de theorieën die ervan voortkomen.

Daarom beginnen axiomen te worden opgevat als uitgangspunten van een specifieke theorie. Ook zowel uw keuze als het probleem van de geldigheid ervan op de een of andere manier, beginnen zich te verhouden tot feiten buiten de axiomatische theorie.

Het kan je van dienst zijn: de 7 dansen en typische dansen van Hidalgo beroemder

Op deze manier verschijnen geometrische, algebraïsche en rekentheorieën die worden gebouwd door de axiomatische methode.

Deze fase culmineert met het creëren van axiomatische systemen voor rekenkunde zoals Giuseppe Peano in 1891; De geometrie van David Hubert in 1899; Alfred North Whitehead en Bertrand Russell's predicaatverklaringen in Engeland in 1910; De axiomatische theorie van Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo Sets in 1908.

Moderne of formele axiomatische methode

Het is David Hubert die begint met de opvatting van een formele axiomatische methode en dat leidt tot het hoogtepunt, David Hilbert.

Het is precies Hilbert die de wetenschappelijke taal formaliseert, waarbij hun uitspraken worden beschouwd als formules of tekenreeksen die geen betekenis op zichzelf hebben. Ze krijgen alleen betekenis in een bepaalde interpretatie.

In "De basis van geometrie”Leg het eerste voorbeeld van deze methodologie uit. Vanaf hier wordt geometrie een wetenschap van pure logische gevolgen, die worden geëxtraheerd uit een hypothese of axioma's, beter gearticuleerd dan het Euclidiaanse systeem.

Dit komt omdat in het oude systeem de axiomatische theorie is gebaseerd op het bewijs van axioma's. Ondertussen wordt het in de basis van de formele theorie gegeven door de demonstratie van de niet -contradictie van zijn axioma's.

Stappen van de axiomatische methode

De procedure die een axiomatische structurering binnen wetenschappelijke theorieën uitvoert, herkent:

• A De keuze van een bepaalde hoeveelheid axioma's, dat wil zeggen een aantal stellingen van een bepaalde theorie die worden geaccepteerd zonder te worden aangetoond.
• B-De concepten die deel uitmaken van deze stellingen worden niet bepaald in het kader van de gegeven theorie.
• C.
• D.

Het kan u van dienst zijn: schild van de technische secundaire van Mexico

Voorbeelden

Deze methode kan worden geverifieerd door de demonstratie van de twee bekendste Euclid -stellingen: de stelling van de categorie en de hoogte.

Beide komen voort uit de observatie van deze Griekse geometer dat wanneer de hoogte wordt getrokken ten opzichte van de hypotenuse binnen een rechthoekige driehoek, nog twee driehoeken van de origineel verschijnen. Deze driehoeken zijn vergelijkbaar met elkaar en tegelijkertijd vergelijkbaar met de driehoek van oorsprong. Dit betekent dat hun respectieve homologen evenredig zijn.

Het is te zien dat de congruente hoeken in de driehoeken op deze manier de gelijkenis verifiëren die bestaat tussen de drie driehoeken die betrokken zijn bij de AAA -overeenkomstcriteria. Dit criterium betoogt dat wanneer twee driehoeken al hun gelijke hoeken hebben, vergelijkbaar zijn.

Zodra is aangetoond dat de driehoeken vergelijkbaar zijn, kunnen de verhoudingen die in de eerste stelling worden gespecificeerd, worden vastgesteld. Dezelfde stelt dat in een rechthoekige driehoek de maat van elke cateto een medium geometrisch evenredig is tussen de hypotenuse en de projectie van de cateto erin.

De tweede stelling is de hoogte. Het geeft aan dat elke rechthoekige driehoek de hoogte die wordt getrokken volgens de hypotenuse een medium geometrisch evenredig is tussen de segmenten die worden bepaald door het geometrische gemiddelde over de hypotenuse.

Natuurlijk hebben beide stellingen wereldwijd tal van toepassingen, niet alleen op het gebied van onderwijs, maar ook in engineering, natuurkunde, chemie en astronomie.