Moment van traagheidsformules, vergelijkingen en voorbeelden van berekening

Hij traagheidsmoment Van een star lichaam met betrekking tot een bepaalde rotatieas, vertegenwoordigt het zijn weerstand tegen het veranderen van zijn hoeksnelheid rond die as. Het is evenredig met de massa en ook aan de locatie van de rotatieas, omdat het lichaam volgens zijn geometrie gemakkelijker rond bepaalde assen kan roteren dan in andere.

Stel dat een uitgebreid object (bestaande uit veel deeltjes) dat rond een as kan roteren. Stel dat een kracht handelt F, tangentieel toegepast op het massa -element AM_Je, Dat produceert een koppel of moment, gegeven door τ_netto = ∑R_Je X F_Je. De vector R_Je Het is de positie van AM_Je (Zie figuur 2).

Figuur 1. Momenten van traagheid van verschillende figuren. Bron: Wikimedia Commons.

Dit moment staat loodrecht op het rotatievlak (adres +K = papier achterlaten). Omdat de sterkte en radiale positie altijd loodrecht zijn, blijft het kruisproduct bestaan:

τ_netto = ∑ f_Je R_Je k = ∑ (Δm_Je naar_Je) R_Je  k = ∑ Δm_Je (naar_Je R_Je )) k

Figuur 2. Een deeltje dat bij een stijve vaste stof in rotatie behoort. Bron: Serway, r. 2018. Natuurkunde voor wetenschap en engineering. Deel 1. Cengage leren.

Versnelling a_Je vertegenwoordigt de tangentiële component van versnelling, omdat radiale versnelling niet bijdraagt ​​aan het koppel. Afhankelijk van hoekversnelling α kunnen we aangeven dat:

naar_Je = α r_Je

Daarom is het netto koppel als volgt:

τ_netto = ∑ Δm_Je (α r_Je²)) K = ((∑ R_Je² AM_Je) α k

Hoekversnelling α is hetzelfde voor het hele object, daarom wordt het niet beïnvloed door het subscript "i" en kan de som verlaten, wat precies het traagheidsmoment is van het gesymboliseerde object met de letter I:

I = ∑ r_Je² AM_Je

Dit is het moment van traagheid van een discrete massadistributie. Wanneer de verdeling continu is, wordt de som vervangen door een integraal en AM wordt een massaverschil DM. De integraal wordt vooral het object gemaakt:

I = ∫_M(R²) DM

De eenheden van het traagheidsmoment in het internationale systeem als ze kg x m zijn². Het is een scalaire en positieve hoeveelheid, omdat het het product van een deeg is tegen het kwadraat van een afstand.

[TOC]

Voorbeelden van berekening

Een uitgebreid object, zoals een balk, schijf, bol of andere, wiens dichtheid ρ Het is constant en weet dat dichtheid het massa -volumequotiënt is, het massaverschil DM Het is geschreven als:

ρ = dm/dv → dm = ρDv

We vervangen in de integraal voor het moment van traagheid, we hebben:

I = ∫r² ρdv = ρ ∫r²Dv

Dit is een algemene uitdrukking, geldig voor een drie -dimensionaal object, waarvan het volume V en positie R Het zijn functies van ruimtecoördinaten X, En En Z. Merk op dat constant, de dichtheid is buiten de integraal.

De dichtheid ρ Het is ook bekend als volumetrische dichtheid, maar als het object erg vlak is, als een vel of zeer dun en smal als een staaf, kunnen andere vormen van dichtheid worden gebruikt, laten we eens kijken:

Kan u van dienst zijn: aardrotatiebeweging

- Voor een zeer fijn vel is de te gebruiken dichtheid σ, de oppervlaktedichtheid (massa per eenheid gebied) en geeft is het gebied differentieel.

- En als het een dunne balk is, waar alleen de lengte relevant is, wordt lineaire masserdichtheid gebruikt λ en een lengteverschil, volgens de as die als referentie wordt gebruikt.

In de volgende voorbeelden worden alle objecten als rigide (niet -definiërend) beschouwd en hebben een uniforme dichtheid.

Moment van traagheid van een dunne balk ten opzichte van een as die door het midden gaat

Hier gaan we het traagheidsmoment berekenen van een dunne, rigide, homogene balk, van lengte L en massa M, met betrekking tot een as die door de middelen gaat.

In de eerste plaats is het noodzakelijk om een ​​coördinatensysteem op te zetten en een figuur te bouwen met voldoende geometrie, zoals deze:

figuur 3. Geometrie om het traagheidsmoment van een dunne staaf te berekenen ten opzichte van een verticale as die door het midden gaat. Bron: f. Zapata.

Hij werd gekozen X Axis langs de bar en de As y als rotatieas. De procedure om integrale vast te stellen, vereist ook het kiezen van een massalifferentieel op de bar, genaamd DM, die een differentiële lengte heeft Dx en bevindt zich in de positie X willekeurig, met betrekking tot het centrum x = 0.

Volgens de definitie van lineaire massadichtheid λ:

λ = m/l

Wanneer de dichtheid uniform is, wat geldig is voor M en L, is het ook voor DM en DX:

λ = dm/dx → dm = λdx.

Aan de andere kant staat het massa -element in positie X, Door deze geometrie in de definitie te vervangen, hebben we een duidelijke integraal, waarvan de grenzen volgens het coördinatensysteem de uitersten van de balk zijn:

Lineaire dichtheid vervangen λ = m/l:

Om het traagheidsmoment van de balk te vinden met betrekking tot een andere rotatieas, bijvoorbeeld een die door een van de uiteinden gaat, kunt u de Steiner -stelling gebruiken (zie oefening opgelost) of een directe berekening uitvoeren die vergelijkbaar is met dat Hier weergegeven, maar de goed aanpassen van geometrie.

Moment van traagheid van een album met betrekking tot een as die door het midden gaat

Een heel dun album, van verachtelijke dikte is een platte figuur. Als het deeg uniform is verdeeld over het gebied A, is masserdichtheid σ:

σ = M/A

Zo veel DM als geeft komen overeen met de massa en het gebied van de differentiële ring getoond in de figuur. We gaan ervan uit dat de hele set draait om de as en.

Je kunt je voorstellen dat het album bestaat dat veel radio -concentrische ringen R, elk met hun respectieve traagheidsmoment. De bijdragen van alle ringen toevoegen totdat u de radio bereikt R, Je hebt het totale traagheid van het album.

σ = dm/da → dm = σgeeft

Figuur 4. Geometrie om het traagheidsmoment van een album te berekenen, met betrekking tot de axiale as. Bron: f. Zapata.

Waar M het hele deeg van het album vertegenwoordigt. Het gebied van een album hangt af van zijn straal R als:

Kan u van dienst zijn: snelheid van verspreiding van een golf

A = π.R²

Afleiden over r:

Da /dr = 2 = 2π.R → da = 2π.RDR

Het bovenstaande vervangen in de definitie van i:

Na het evalueren van de integrale resultaten:

Vervangen σ = m/(π.R² ) is overgebleven:

Moment van traagheid van een vaste bol ten opzichte van een diameter

Een Radius R -bol kan worden beschouwd als een reeks gestapelde schijven op elkaar, waar elk oneindige massa -album DM, radio R en dikte Dz, Het heeft een traagheidsmoment gegeven door:

gaf_schijf = (½) r²DM

Om dit differentieel te vinden, werd de formule van de vorige sectie eenvoudig genomen en vervangen M En R door DM En R, respectievelijk. Een album als dit is te zien in de geometrie van figuur 5.

Figuur 5. Geometrie om het traagheidsmoment van een vaste straalbol te berekenen ten opzichte van een as die door een diameter gaat. Bron: f. Zapata.

Door alle momenten van oneindige traagheid van gestapelde schijven toe te voegen, wordt het moment van totale traagheid van de bol verkregen:

Je_gebied = ∫di_schijf

Die gelijkwaardig is aan:

I = ∫_gebied (½) r²DM

Om de integraal op te lossen, moet u uitdrukken DM op de juiste manier. Zoals altijd wordt het bereikt door dichtheid:

ρ = m/v = dm/dv → dm = ρ.Dv

Het volume van een differentiële schijf is:

Dv = basisgebied x hoogte

De hoogte van het album is de dikte Dz, terwijl het basisgebied is πR², daarom:

Dv = πr²Dz

En het vervangen van de geïntegreerde zou zo zijn:

I = ∫_gebied(½) r²Dm = ∫ (½) r²(ρπR²DZ)

Maar voordat het wordt geïntegreerd, moet het. Door de stelling van Pythagoras:

R² = r² + Z² → R² = R² - Z²

 Dat leidt ons naar:

I = ∫_gebied(½) ρ r²(πR²dz) = ∫_gebied(½) ρ π r⁴Dz= ∫_gebied(½) ρ π (r² - Z²))² Dz

Om de hele sfeer te integreren, merken we dat z varieert tussen -r en r, daarom:

Wetende dat ρ = m/v = m/[(4/3) πr³] Ten slotte wordt het verkregen, na vereenvoudiging:

Moment van traagheid van een vaste cilinder ten opzichte van de axiale as

Voor dit object wordt een methode die vergelijkbaar is met die voor de bol wordt gebruikt, alleen deze keer is het eenvoudiger als de cilinder wordt voorgesteld voor radiocilindrische shells R, dikte Dr en lengte H, Alsof ze de lagen van een ui waren.

Figuur 6. Geometrie om het traagheidsmoment van een vaste straalcilinder te berekenen, respect voor de axiale as. Bron: Serway, r. 2018. Natuurkunde voor wetenschap en engineering. Deel 1. Hekelen.

Het volume Dv van een cilindrische laag is:

Dv = 2π.RL.Dr

Daarom is de Cascaron -massa:

Kan u van dienst zijn: Microscopische schaal: eigenschappen, teldeeltjes, voorbeelden

Dm = ρ.Dv = ρ. 2π.R.L.Dr

Deze uitdrukking wordt vervangen in de definitie van traagheidsmoment:

 Gegeven dat ρ = m / (π.R²L) is overgebleven:

De vorige vergelijking geeft aan dat het traagheidsmoment van de cilinder niet afhankelijk is van zijn lengte, maar alleen van zijn massa en zijn straal. Ja L veranderd, het traagheidsmoment ten opzichte van de axiale as zou hetzelfde blijven. Om deze reden, Je van de cilinder valt samen met die van het eerder berekende dunne album.

Moment van traagheid van een rechthoekig vel ten opzichte van een as die door het midden gaat

De As y Horizontaal als een rotatieas. De onderstaande afbeelding toont de benodigde geometrie om integratie uit te voeren:

Figuur 7. Geometrie voor de berekening van het traagheidsmoment van een rechthoekige plaat ten opzichte van een parallelle as met het vel en die door het midden gaat. Bron: f. Zapata.

Het in rood aangegeven gebiedselement is rechthoekig. Het gebied is daarom basis x hoogte:

da = a.Dz

Daarom is het massaverschil:

DM = σ.da = σ.(naar.DZ)

Wat betreft de afstand van het gebiedselement tot de rotatieas, het is altijd Z. We vervangen dit allemaal in de integrale van het traagheidsmoment:

Nu wordt oppervlaktemasserdichtheid σ vervangen door:

σ = m/ab

En het is absoluut zo:

Merk op dat het is zoals die van de dunne bar.

Moment van traagheid van een vierkant vel ten opzichte van een as die door het midden gaat

Voor een vierkant aan de zijkant L, In de vorige uitdrukking geldig voor een rechthoek, de waarde van B door de ene L:

Stelling van het moment van traagheid

Er zijn twee bijzonder nuttige stellingen om de berekening van traagheidsmomenten te vereenvoudigen ten opzichte van andere assen, die anders gecompliceerd kunnen zijn om te vinden vanwege het gebrek aan symmetrie. Deze stellingen zijn:

Steiner's stelling

Ook wel genoemd parallelle as stelling, Relateert het traagheidsmoment met betrekking tot een as met een andere die door het massamiddelpunt van het object gaat, zolang de assen parallel zijn. Om het toe te passen, moet de afstand d bekend zijn tussen de twee assen en natuurlijk de massa M van het object.

Zijn Je_Z het moment van traagheid van een uitgebreid object met betrekking tot Z, ik as_Cm Het traagheidsmoment ten opzichte van een as die door het massacentrum (cm) van genoemde object gaat, dan is het vervuld dat:

Je_Z = I_Cm + MD²

Of in de notatie van de volgende figuur: Je_{Z '} = I_Z + MD²

Figuur 8. Steiner theorem of parallelle assen. Bron: Wikimedia Commons. Jack zie [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenties/by-sa/3.0)]

Loodrechte as stelling

Deze stelling is van toepassing op vlakke oppervlakken en zegt: het traagheidsmoment van een vlak object rond een as loodrecht daarop is de som van de traagheidsmomenten rond twee assen loodrecht op de eerste as:

Je_Z = I_X + Je_En

Figuur 9. Loodrechte as stelling. Bron: f. Zapata.

Als het object zo symmetrie heeft Je_X En Je_En Ze zijn hetzelfde, dan is het vervuld dat:

Je_Z = 2i_X

Oefening opgelost

Vind het traagheidsmoment van de balk ten opzichte van een as die door een van de uiteinden gaat, zoals die getoond in figuur 1 (hieronder en rechts) en figuur 10.

Figuur 10. Moment van traagheid van een homogene balk rond een as die door het ene uiteinde gaat. Bron: f. Zapata.

Oplossing:

We hebben al het moment van traagheid van de balk rond een as die door het geometrische centrum passeert. Omdat de lat homogeen is, is het midden van de massa op dat moment, dus dit zal van ons zijn Je_Cm Om de stelling van Steiner toe te passen.

Als de lengte van de balk is L, De z -as bevindt zich op afstand d = l/2, daarom:

Je_Z = I_Cm + MD²= (1/12) ml²+M (l/2)²= (1/3) ml²

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Fysica voor engineering en wetenschappen. Deel 1. MC Graw Hill. 313-340
2. Rex, a. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
3. Parallelle as stelling. Hersteld van: hyperfysica.Phy-Astr.GSU.Edu.
4. Serway, r. 2018. Natuurkunde voor wetenschap en engineering. Deel 1. Hekelen.
5. Sevilla University. Moment van traagheid van sferische vaste stoffen. Hersteld van: laplace.ons.is.
6. Sevilla University. Moment van traagheid van een deeltjessysteem. Hersteld van: laplace.ons.is.
7. Wikipedia. Parallelle as stelling. Opgehaald uit: in.Wikipedia.borg