Hoekmomentumhoeveelheid, behoud, voorbeelden, oefeningen

Hij hoekmomentum O hoeveelheid hoekige beweging is, voor de rotatiebeweging, wat het lineaire moment is voor de vertaalbeweging. Het is een vectorgrootte die de rotatie van een punctueel deeltje of een uitgebreid object rond een as kenmerkt die door een punt passeert.

Dit betekent dat wanneer het hoekmomentum wordt berekend, de rotatieas moet worden gespecificeerd.

Beginnend met een materieel punt van massa m, wordt het hoekmomentum aangeduid door L, het lineaire moment als P en de positie van het deeltje ten opzichte van een as die door een bepaald punt gaat of is R, Dus:

L = R X P

Vetgedrukte letters zijn gereserveerd voor vectorgroottes en het kruis betekent dat het hoekmomentum het vectorproduct is tussen de positievector R en het lineaire moment P van het deeltje. De vector die het gevolg is van een vectorproduct staat loodrecht op het vlak gevormd door de deelnemende vectoren.

Dit betekent dat de richting en het gevoel van L Ze kunnen worden gevonden volgens de rechterhand voor het kruisproduct.

In het internationale systeem van eenheden zijn de eenheden van hoekmomentum kg⋅m²/s, die geen speciale naam hebben. En voor een uitgebreid lichaam, dat uit veel deeltjes is samengesteld, is de vorige definitie gemakkelijk uit te breiden.

[TOC]

Hoeveelheid hoekige beweging

Relatie tussen de hoekmomentumvectoren met betrekking tot een bepaald punt of lineaire tijd voor een punctueel deeltje dat in een cirkel beweegt. Bron: gewijzigd door F. Zapata van Wikimedia Commons.

De omvang van de hoekmomentumvector is volgens de definitie van vectorproduct:

L = r⋅m⋅V⋅Sen ϕ = mv (r⋅sen ϕ) = mvℓ

Waar ϕ de hoek is tussen de vectoren R En v. Dan is ℓ = r sen ϕ de loodrechte afstand tussen de lijn van v En het punt of.

In het geval van het deeltje dat beweegt dat de omtrek in het bovenste beeld beschrijft, is deze hoek 90º, omdat de snelheid altijd raakt aan de omtrek en daarom loodrecht op de straal.

Daarom sen 90º = 1 en de grootte van L is:

L = m⋅r⋅V

Het moment van traagheid

Het traagheidsmoment van een rigide lichaam beschrijft de traagheid van het lichaam tegen rotatie rond een bepaalde as.

Het hangt niet alleen af ​​van het lichaam van het lichaam, maar ook van de afstand tot de rotatieas. Dit is gemakkelijk begrijpelijk wanneer het denkt dat het voor sommige objecten gemakkelijker is om te roteren ten opzichte van sommige assen dan voor andere.

Voor een deeltjessysteem wordt het traagheidsmoment, aangeduid met letter I, gegeven door:

Kan u van dienst zijn: hoekversnelling

I = ∑ r_Je² AM_Je

Waar AM_Je  Het is een klein deel van deeg en r_Je Het is de afstand tot de rotatieas. Een uitgebreid lichaam bestaat uit talloze deeltjes, vandaar het moment van totale traagheid is de som van alle producten tussen massa en afstand, van de deeltjes die het samenstellen.

Als het een uitgebreide lichaam is, verandert de zomer in een integraal en AM Het wordt een massaverschil DM. Integratielimieten zijn afhankelijk van objectgeometrie:

I = ∫_M (R²) DM

Het concept van traagheidsmoment is nauw verwant aan het hoekmomentum van een uitgebreid object, zoals we dan zullen zien.

Hoekmomentum van een deeltjessysteem

Overweeg een deeltjesteelsysteem, samengesteld uit massa AM_Je die draait om een ​​cirkel in het vlak te volgen XY, Elk heeft een lineaire snelheid gerelateerd aan zijn hoeksnelheid, de laatste voor alle deeltjes:

v_Je = Ωr_Je

Waar r_Je Het is de afstand tot de rotatieas of. Dus de omvang van het hoekmomentum is:

L_Je = AM_Je. R_Je. (Ωr_Je) = R_Je²Ω Δm_Je

Het hoekmomentum van het systeem zal door de som worden gegeven:

L = Ω ∑ r_Je² AM_Je

We identificeren snel het traagheidsmoment, zoals gedefinieerd in de vorige sectie, en daarom blijft de omvang van het hoekmomentum zo:

L = iΩ

Zoals we hebben gezegd dat het deeltjessysteem zich in het XY -vlak bevond, blijkt dat het hoekmomentum is gericht langs de Z -as, loodrecht op het genoemde vlak. De betekenis wordt gegeven door de rotatie: het hoekige moment.

Een uitgebreid lichaam kan worden onderverdeeld in plakjes, elk met hoekmomentum gegeven door L = iΩ Gericht langs de Z -as. Als de objectsymmetrieas samenvalt met de z -as, is er geen probleem, omdat zelfs voor punten die niet in het XY -vlak zijn, de componenten van het hoekmomentum loodrecht op de genoemde as worden geannuleerd.

Vectoriaal:

L = IΩ

Deze vergelijking is geldig voor drie dimensionale objecten die draaien om een ​​symmetrieas.

Wanneer het hoekmomentum varieert?

Wanneer een netto kracht op een deeltje of een lichaam werkt, kan het lineaire moment veranderen, en bijgevolg zal het ook zijn hoekmomentum doen. Om te weten wanneer we variëren, gebruiken we de afgeleide, die ons de snelheid van verandering in de loop van de tijd zal geven, als er zijn:

Kan u van dienst zijn: siliciumoxide (SiO2): structuur, eigenschappen, gebruik, verkrijgen

De productregel toepassen voor de afgeleide:

De voorwaarde v X Mv Het is nietig, omdat het het product van een vector bij zichzelf is, en in de tweede termijn vinden we de netto kracht F = mnaar, daarom:

Het vectorproduct R X F Het is niets anders dan het koppel of moment van netto torsie, soms aangeduid met de Griekse teksten τ of als M, Altijd gewaagd, omdat het een vectorbedrag is. Dan, in analogie met het lineaire moment, varieert het hoekmomentum zolang er een koppel of moment van netto torsie is:

DL/dt = M

Angular Momentum Conservation

Uit de voorgaande secties hebben we dat gezien:

DL/dt = M

Dat wil zeggen, het hoekmomentum varieert wanneer er een moment van netto torsie is. Als er geen moment van netto torsie is, dan:

DL/dt = 0 → L het is constant

Met andere woorden:

Eerste hoekmomentum = laatste hoekmomentum

Dit resultaat is nog steeds geldig in het geval dat een lichaam niet rigide is, zoals we zullen zien in de volgende voorbeelden.

Voorbeelden

Het hoekmomentum is een belangrijke omvang die in talloze situaties wordt onthuld, die aantoont hoe universeel het is:

Artistiek schaatsen en andere sporten

Aan de linkerkant begint de schaatser met verlengde armen naar rechts te draaien, krimpt de armen tegen het lichaam en kruist de benen om zijn draaisnelheid te verhogen. Bron: Wikimedia Commons.

Wanneer een lichaam dat contracten draait, de rotatiesnelheid toeneemt, kent dit de schaatsers goed.

Dit komt omdat wanneer we armen en benen contracteren, het traagheidsmoment dat ik afneemt, naarmate de afstand tussen de onderdelen afneemt, maar naarmate het hoekmomentum wordt behouden, moet de IJ -product constant houden, de hoeksnelheid moet toenemen.

Dit is niet alleen geldig bij het schaatsen, maar ook in sport en activiteiten waarin beurten moeten.

Katten staan

Katten repareren ze altijd om op handen en voeten te landen wanneer ze vallen. Zelfs als ze niet een hoeveelheid initiële beweging hebben, zorgen ze ervoor dat ze snel benen en staart draaien om hun rotatie -traagheid te veranderen en te repareren om op te staan.

Evenzo tijdens het manoeuvreren is hun hoekmomentum nietig, omdat hun rotatie niet continu is.

De beweging van een frisbee

Een frisbee moet worden gelanceerd door het af te drukken om te vliegen, omdat het anders valt. Inderdaad, het hoekige moment.

Het kan u van dienst zijn: stationaire golven: formules, kenmerken, typen, voorbeelden

De ballen in sport

Honkbal, voetbal, basketbal en andere sportballen hebben een hoekmomentum. Omdat ze bolvormig zijn, hebben ze een moment van traagheid en tijdens het spel worden ze gedraaid. Zoals het traagheidsmoment van een bol is:

I = (2/5) MR²

Waar M de massa van de bal is en zijn straal, is het traagheidsmoment ten opzichte van een bepaalde as (vaste):

L = (2/5) MR²Ω

De maanbevestiging

De maan beweegt weg van de aarde, omdat de rotatiesnelheid van de aarde afneemt als gevolg van de wrijving tussen de grote watermassa en de achtergrond van de zee.

Het Earth-Luna-systeem behoudt zijn hoekige moment.

Het atoom

Het eerste postulaat van het atoommodel van Bohr stelt dat een elektron alleen banen inneemt waar het hoekmomentum een ​​volledig veelvoud is van H/2π, Waar h de constante van Planck is.

Oefening opgelost

Een dunne stalen staaf heeft een massa van 500 g en een lengte van 30 cm. Draait om een ​​as die door het midden gaat met een snelheid van 300 omwentelingen per minuut. Bepaal de module van de hoeveelheid hoekige beweging.

Oplossing

We hebben het traagheidsmoment van de staaf nodig die verwijst naar een as die door het midden gaat. Het raadplegen van het momentum van traagheid is gebleken dat:

I = (1/12) ml² = (1/12) × 0.5 kg x (30 × 10^-2 M)² = 3.75 × 10^-3 kg.M²

Omdat het een uitgebreide lichaam is, waarvan we de hoeksnelheid kennen, gebruiken we:

L = iΩ

Voordat we de hoeksnelheid of hoekfrequentie transformeren Ω naar radianen/s:

Ω = (300 revoluties/minuut) × (1 minuut/60 seconden) x (2π radialen/revolutie) = 10 π rad/s

Vervangen:

L = 3.75 x10^-3 kgout² × 10 π rad/s = 0.118 kg⋅m² / S

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Fysica voor engineering en wetenschappen. Deel 1. MC Graw Hill.
2. Giambattista, een. 2010. Natuurkunde. 2e. ED. McGraw Hill.
3. Giancoli, D.  2006. Fysica: principes met toepassingen. 6e. Ed Prentice Hall.
4. Ridder, r.  2017. Fysica voor wetenschappers en engineering: een strategiebenadering.  Pearson.
5. Serway, r., Jewett, J. (2008). Natuurkunde voor wetenschap en engineering. Deel 1. 7e. ED. Cengage leren.
6. Tippens, p. 2011. Fysica: concepten en toepassingen. 7e editie. McGraw Hill.