Gauss Law

We leggen uit wat de wet van Gauss is, de toepassingen en hebben opgeloste oefeningen geplaatst

Figuur 1. Elektrische kosten binnen en buiten Gaussiaanse oppervlakken willekeurig. Alleen belastingen die in elk oppervlak zijn vergrendeld, dragen bij aan de netto elektrische stroom erdoorheen

Wat is de wet van Gauss?

De Gauss Law stelt dat de elektrische veldstroom, door een denkbeeldig gesloten oppervlak, evenredig is met de netto belastingwaarde van de deeltjes die in het genoemde oppervlak worden gevonden.

De elektrische stroom door een gesloten oppervlak aangeven, zoals zoals Φ_EN en aan de netbelasting die door het oppervlak wordt vergrendeld door Q_{af enf}, Vervolgens wordt de volgende wiskundige relatie tot stand gebracht:

Φ_EN = C ∙ q_{af enf}

Waar C Het is de constante van evenredigheid.

Verklaring van de wet van Gauss

Om de betekenis van de wet van Gauss te begrijpen, is het noodzakelijk om de concepten uit te leggen die bij de verklaring betrokken zijn: elektrisch lading, elektrisch veld en elektrisch veld stromen door een oppervlak.

Elektrische lading

Elektrische lading is een van de fundamentele eigenschappen van materie. Een geladen object kan een van de twee soorten belasting hebben: positief of negatief, hoewel de objecten normaal gesproken neutraal zijn, dat wil zeggen dat ze dezelfde hoeveelheid negatieve belasting hebben als positief.

Twee objecten geladen met het laden van hetzelfde type worden afgestoten, zelfs als er geen contact met elkaar is en in een vacuüm zijn. Integendeel, wanneer elk van de lichamen veel verschillende tekens heeft, trekken ze aan. Dit type afstandsinteractie staat bekend als elektrische interactie.

In het internationale systeem van eenheden als de elektrische lading wordt gemeten in Culombios (C). De negatieve elementaire vrachtdrager is de elektron Met een belasting van -1.6 x 10^-19C En de positieve elementaire belastingdrager is het proton met een belastingswaarde +1.6 x 10^-19C. Typisch geladen lichamen hebben er tussenin 10^-9C En 10^-3C.

elektrisch veld

Een elektrisch geladen lichaam verandert de ruimte in zijn omgeving en vult het met iets onzichtbaars genaamd Electric Field. Om te weten dat dit veld aanwezig is, is een specifieke testbelasting vereist.

Kan u van dienst zijn: eenvoudige harmonische beweging

Als de testbelasting wordt geplaatst op een plaats waar een elektrisch veld is, verschijnt er een kracht in een bepaalde richting, die hetzelfde is als die van het elektrische veld. De intensiteit van het veld is de kracht op de proefbelasting gedeeld door de hoeveelheid belasting van hetzelfde. Vervolgens de elektrische veldeenheden EN In het internationale systeem van eenheden zijn Newton tussen Coulomb: [E] = n/c.

Positieve specifieke belastingen produceren een radiaal veld buiten, terwijl negatieve belastingen een radiaal gericht veld naar binnen produceren. Bovendien vervalt het veld dat wordt geproduceerd door een punctuele last met het omgekeerde van het kwadraat van de afstand tot de genoemde belasting.

Elektrische veldleidingen

Michael Faraday (1791 - 1867) was de eerste die een mentaal beeld van het elektrische veld had, die het me voorstelt als lijnen die de richting van het veld volgen. In het geval van een positieve punctuele belasting zijn deze lijnen radiaal vanaf het midden uit. Waar de lijnen meer samen zijn, is het veld intenser en minder intens waar ze meer gescheiden zijn.

Figuur 2. Op de linker veldlijnen van twee gelijke en positieve ladingen. Aan de rechterkant de laadveldlijnen van gelijke grootte, maar tegengestelde tekenen. Blauwe pijlen vertegenwoordigen de elektrische veldvector in verschillende posities. Bron: Wikimedia Commons.

De positieve belastingen zijn de bronnen waar de elektrische veldlijnen opkomen, terwijl de negatieve belastingen de gootstenen van de lijnen zijn.

De elektrische veldlijnen sluiten niet op zichzelf. In een reeks ladingen laten de lijnen de positieve ladingen achter en gaan de positieve in, maar ze kunnen ook aankomen of uit de oneindigheid komen.

Kan u van dienst zijn: stabiele balans: concept en voorbeelden

Noch zijn ze elkaar kruisen en op elk punt in de ruimte is de elektrische veldvector rangent naar de veldlijn en evenredig met de lijndichtheid daar.

figuur 3. Het meisje is elektrisch opgeladen omdat hij contact heeft met de koepel van een van der Graaf -generator. Je haar volgt de elektrische veldlijnen. Bron: Wikimedia Commons.

Elektrische veldstroom

De elektrische veldlijnen lijken op de huidige lijnen van een rivier die voorzichtig stroomt, vanaf hier is het concept van elektrische veldstroom geboren.

Figuur 4. Het elektrische veld stromt door een oppervlakte van een oppervlakte A hangt af van de hoek gevormd tussen het genoemde oppervlak en het veld en. De maximale stroom wordt verkregen wanneer het oppervlak loodrecht op het veld staat en de stroom nul is wanneer het oppervlak evenwijdig is aan het veld. Bron: f. Zapata.

In een gebied waar het elektrische veld uniform is, is de stroom φ door een plat oppervlak het product van de normale component van de E_N naar het oppervlak, vermenigvuldigd door het gebied NAAR Van hetzelfde:

Φ = e_N ∙ a

Component E_N Het wordt verkregen door de grootte van het elektrische veld te vermenigvuldigen met de cosinus van de hoek gevormd tussen het veld en de normale eenheidsvector naar het gebiedsoppervlak NAAR. (Zie figuur 4).

Gauss Law -aanvragen

De wet van Gauss kan worden toegepast om het elektrische veld te bepalen dat wordt geproduceerd door laadverdelingen met een hoge mate van symmetrie.

Elektrisch veld van een punctuele belasting

Een punctuele belasting produceert een radiaal elektrisch veld dat extravert is als de belasting positief is en anders inkomen.

Kiezen als een Gaussiaans oppervlak een denkbeeldige bol van radio R en concentrisch met de Q -belasting, op alle punten van het oppervlak van de genoemde bol is het elektrische veld van gelijke grootte en de richting ervan is altijd normaal voor het oppervlak. Vervolgens is de elektrische veldstroom in dit geval het product van de grootte van het veld door het totale oppervlak van het bolvormige oppervlak:

Kan u van dienst zijn: vloeistofmechanica: geschiedenis, welke studies, fundamentals

Φ = e ∙ a = e ∙ 4πr²

Aan de andere kant stelt de wet van Gauss vast dat: φ = c ∙ q, de constante van evenredigheid zijn C. Bij het werken in eenheden van het internationale meetsysteem, de constante C Het is het omgekeerde van de toelage van het vacuüm en de wet van Gauss wordt als volgt geformuleerd:

Φ = (1/ε_of) ∙ q

Het opnemen van het resultaat verkregen voor de stroom naar de Gauss -wet is:

E ∙ 4πr² = (1/ε_of) ∙ q

En voor de omvang van EN resultaat:

E = (1/4πε_of) ∙ (Q/ R²))

Valt volledig samen met de Coulomb -wet van het elektrische veld van een punctuele belasting.

Opdrachten

Oefening 1

Twee specifieke ladingen worden aangetroffen binnen een Gaussiaans oppervlak. Het is bekend dat een van hen een waarde heeft van +3 NC (3 nano-coulomb). Als het netto elektrische veld door het Gaussiaanse oppervlak stromt, is 113 (n/c) m², Wat zal de waarde van de andere belasting zijn?

Oplossing

De wet van Gauss stelt dat vast

Φ_EN = (1/ε_of) ∙ q_{af enf}

Van daaruit is de netto belasting vergrendeld:

Q_{af enf} = Φ_EN ∙ ε_of

De gegevensresultaten vervangen:

Q_{af enf} = 113 (n/c) m² ∙ 8,85 x 10^-12 (C² M^-2 N^-1) = 1 x 10^-9 C = 1 NC.

Maar Q_{af enf} = +Q - q, Waar de positieve belasting een bekende waarde van +3 NC heeft, zal de belasting daarom noodzakelijkerwijs -2 nc zijn.

Oefening 2

In figuur 2 is er een opstelling (links) van twee positieve ladingen, elk met waarde +q en een andere opstelling (rechts) met één belasting +q en de andere -q. Elke opstelling is vergrendeld in een denkbeeldige doos met al zijn randen van 10 cm. Ja | q | = 3 μC, zoek de netto elektrische veldstroom door de doos voor elke opstelling.

Oplossing

In de eerste opstelling is de netto stroom:

Φ_EN = (1/ε_of) ∙ ( + q + q) = 678000 (n/c) m²

In de rechteropstelling is de netto stroom door de denkbeeldige doos die het koppel van de belastingen bevat, nul.

Referenties

1. Cosenza, m. Elektromagnetisme. Universiteit van de Andes.
2. Díaz, r. Elektrodynamica: klassennotities. Nationale Universiteit van Colombia.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 6. Elektromagnetisme. Uitgegeven door Douglas Figueroa (USB).
4. Jackson, J. D. Klassieke electodynamica. 3e. ED. Wiley.
5. Tarazona, c. Inleiding tot elektrodynamica. Redactionele universiteit Manuela Beltrán.