Geïntefineerde integrale eigenschappen, toepassingen, berekening (voorbeelden)

De Onbepaalde integraal Het is de omgekeerde werking van de afleiding en om dit aan te geven, wordt het langwerpige "S" -symbool gebruikt: ∫. Wiskundig is de onbepaalde integrale van de functie f (x) geschreven:

∫f (x) dx = f (x) + c

Waarbij de integratie f (x) = f '(x) een functie is van de variabele X, die op zijn beurt degene is die is afgeleid van een andere functie f (x), de integraal of het antiderivatief genoemd.

Figuur 1. Onbepaalde integrale is een van de krachtigste tools voor wiskundige modellering. Bron: Wikimedia Commons. Wallpoper / public domein.

Op zijn beurt is C een constante die bekend staat als Integratieconstante, die altijd gepaard gaat met het resultaat van een onbepaalde integrale. We zullen de oorsprong ervan onmiddellijk door een voorbeeld zien.

Stel dat ze ons vragen om de volgende onbepaalde integrale I te vinden:

I = ∫x.Dx

Ik identificeer onmiddellijk f '(x) met x. Het betekent dat we een functie f (x) moeten bieden zodat de afgeleide ervan x is, iets dat niet moeilijk is:

f (x) = ½ x²

We weten dat wanneer we F (x) worden afgeleid, we naar f '(x) kunnen, we verifiëren het:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Nu, de functie: f (x) = ½ x² + 2 voldoet ook aan de vereiste, omdat de afleiding lineair is en de afgeleide van een constante is 0. Andere functies die, wanneer afgeleid, resulteren in f (x) = zijn:

½ x² -1, ½ x² + vijftien; ½ x² - √2…

En in het algemeen alle functies van de vorm:

f (x) = ½ x² + C

Het zijn de juiste antwoorden voor het probleem.

Elk van deze functies wordt antiderivatief of primitief genoemd van f '(x) = x en is precies die set van alle antiderivaten van een functie die bekend staat als een onbepaalde integrale.

Het is voldoende om een ​​van de primitieve te kennen, omdat, zoals gezien, het enige verschil tussen hen de constante C van integratie is.

Het kan u van dienst zijn: Poisson Distributie: formules, vergelijkingen, model, eigenschappen

Als het probleem initiële voorwaarden bevat, is het mogelijk om de waarde van C te berekenen om zich aan te passen (zie het later opgelost voorbeeld).

[TOC]

Hoe een onbepaalde integrale te berekenen

In het vorige voorbeeld werd ∫x berekend.dx omdat een functie f (x) bekend was dat wanneer deze werd afgeleid, dit resulteerde in de integratie.

Daarom kunnen basisintegralen van de bekendste functies en hun derivaten worden opgelost.

Bovendien zijn er enkele belangrijke eigenschappen die het bereik van mogelijkheden uitbreiden bij het oplossen van een integraal. Zijn k Een reëel getal, dan is het waar dat:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫H (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x^N Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

Afhankelijk van de integratie zijn er verschillende algebraïsche methoden en numeriek om integralen op te lossen. Hier vermelden we:

-Verandering van variabele

-Algebraïsche en trigonometrische vervangingen.

-Integratie door onderdelen

-Ontleding in eenvoudige breuken om het rationele type te integreren

-Gebruik van tafels

-Numerieke methodes.

Er zijn integralen die met meer dan één methode kunnen worden opgelost. Helaas is er geen uniek criterium om a priori de meest effectieve methode te bepalen om een ​​specifieke integraal op te lossen.

In feite kunnen sommige methoden de oplossing van bepaalde integralen sneller bereiken dan andere. Maar de waarheid is dat om vaardigheden te verwerven door integralen op te lossen die je moet oefenen met elke methode.

- Opgelost voorbeeld

Oplossen:

Oplossing

Laten we een eenvoudige variabele verandering aanbrengen voor subradische hoeveelheid:

U = x-3

Met:

X = u+3

Beide kanten afleiden aan beide uitdrukkingen die u krijgt:

Dx = du

Nu vervangen we in de integraal, die we zullen aangeven als ik:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Kan u van dienst zijn: ordinale variabele

We passen distributieve eigenschappen en vermenigvuldiging van bevoegdheden van gelijke basis toe, en het wordt verkregen:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) Du

Voor eigendom 3 van de vorige sectie:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3u^1/2 du

Nu wordt onroerend goed 4 toegepast, dat bekend staat als Machtsregel:

Eerste integraal

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Tweede integraal

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + C₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Dan komen de resultaten samen:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

De twee constanten kunnen er zonder problemen in één verzamelen. Ten slotte moeten we niet vergeten om de variabele wijziging te retourneren die eerder is gedaan en het resultaat uit te drukken in termen van de oorspronkelijke variabele x:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Het is mogelijk om het resultaat te factureren:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Toepassingen

Onbepaald integrale is bijvoorbeeld van toepassing op tal van modellen in natuurlijke en sociale wetenschappen, bijvoorbeeld:

Beweging

In de oplossing van bewegingsproblemen, om de snelheid van een mobiel te berekenen, bekend zijn versnelling en bij de berekening van de positie van een mobiel, bekend zijn snelheid.

Economie

Bij het berekenen van de productiekosten en het modelleren van een vraagfunctie bijvoorbeeld, bijvoorbeeld.

Toepassingsoefening

De minimale snelheid die een object vereist om te ontsnappen aan de terrestrische gravitatie -aantrekkingskracht wordt gegeven door:

In deze uitdrukking:

-v is de snelheid van het object dat uit de aarde wil ontsnappen

-En het is de afstand gemeten vanaf het midden van de planeet

-M is de massa van de aarde

-G is constante zwaartekracht

Kan u van dienst zijn: normale verdeling: formule, kenmerken, bijvoorbeeld oefening

Er wordt gevraagd om de relatie tussen te vinden v En En, Het oplossen van de onbepaalde integralen, als het object een beginsnelheid V heeft verleend_of En de straal van de aarde is bekend en wordt r genoemd.

Figuur 2.- Een kunstmatige satelliet soja. Als er teveel snelheid wordt verstrekt, zal het ontsnappen aan de ernst van de aarde, de minimale snelheid om dit te laten gebeuren, wordt uitlaatsnelheid genoemd. Bron: Wikimedia Commons.

Oplossing

We krijgen twee onbepaalde integralen gepresenteerd om op te lossen via de integratieregels:

Je₁ = ∫v dv = v²/2 + c₁

Je₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ en^-2 dy = -gm [en^-2+1/(-2 + 1)] + C₂ = GM. En^-1 + C₂

We zijn gelijk aan i₁ en ik₂:

v²/2 + c₁ = GM. En^-1 + C₂

De twee constanten kunnen zich in één verzamelen:

Zodra de integralen zijn opgelost, passen we de beginvoorwaarden toe, die de volgende zijn: wanneer het object zich op het aardoppervlak bevindt, bevindt het zich op een afstand R van het midden van hetzelfde. In de verklaring vertellen ze ons dat het de afstand is gemeten vanaf het midden van de aarde.

En gewoon aan de oppervlakte zijn is dat de initiële snelheid wordt verstrekt waarmee deze ontsnapt aan de zwaartekrachtaantrekking van de planeet. Daarom kunnen we vaststellen dat V (R) = V_of. In dat geval voorkomt niets dat we deze voorwaarde vervangen in het resultaat dat we zojuist hebben verkregen:

En sinds V_of Het is bekend, en dat geldt ook voor G, M en R, we kunnen de waarde van de integratieconstante C verwijderen:

Die we kunnen vervangen in het resultaat van de integralen:

En tot slot wissen we V², Factoring en groepering correct:

Dit is de uitdrukking die snelheid relateert v van een satelliet die heeft geschoten van het planeetoppervlak (straal R) met initiële snelheid vo, Wanneer het op afstand is En Van het midden van de planeet.

Referenties

1. Haeussler, E. 1992. Wiskunde voor administratie en economie. Iberoamerica redactionele groep.
2. Hyperfysica. Ontsnappingssnelheid. Hersteld van: hthyperfysica.Phy-Astr.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Berekening van een variabele. 9NA. Editie. McGraw Hill.
4. Purcell, E. 2007. Berekening met analytische geometrie. 9NA. Editie. Pearson Education.
5. Wolfram Mathworld. Voorbeeld van integralen. Hersteld van: Mathworld.Wolfraam.com.