Injectieve functie waar het uit bestaat, waar is het voor en voorbeelden

A Injectieffunctie Het is elke relatie van domeinelementen met een enkel element van codominium. Ook bekend als functie een voor een (( elf ), maken deel uit van de classificatie van functies met betrekking tot de manier waarop hun elementen gerelateerd zijn.

Een element van codominium kan slechts een beeld zijn van een enkel element van het domein, op deze manier kunnen de waarden van de afhankelijke variabele niet worden herhaald.

Bron: auteur.

Een duidelijk voorbeeld zou zijn om mannen te groeperen met werk in een groep A en in een groep B voor alle bazen. De functie F Het zal degene zijn die elke werknemer associeert met hun baas. Als elke werknemer door een andere baas wordt geassocieerd F, Dus F  Het zal er een zijn Injectieffunctie.

Overwegen Injectief Het volgende moet worden vervuld tot een functie:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ F (x₁ ) ≠ f (x₂ ))

Dit is de algebraïsche manier om te zeggen Voor iedereen x₁ anders dan x₂ Je hebt een f (x₁ ) Verschillen van f (x₂ )).

[TOC]

Waar zijn injectieffuncties voor?

Injectiviteit is een eigenschap van continue functies, omdat ze zorgen voor de toewijzing van afbeeldingen voor elk domeinelement, essentieel aspect in de continuïteit van een functie.

Bij het tekenen van een lijn parallel aan de as X In de grafiek van een injectieffunctie mag alleen de grafiek op een enkel punt worden aangeraakt, ongeacht welke hoogte of grootte van EN De lijn is getrokken. Dit is de grafische manier om de injectiviteit van een functie te bewijzen.

Een andere manier om te testen of een functie is Injectief, wist de onafhankelijke variabele X In termen van de afhankelijke variabele EN. Dan moet het worden geverifieerd als het domein van deze nieuwe uitdrukking de reële getallen bevat, tegelijkertijd als voor elke waarde van EN Er is een enkele waarde van X.

Bestelfuncties of relaties gehoorzamen, onder andere de notatie F: D_F→C_F

Dat leest F dat gaat van D_F naar C_F

Waar de functie F Relateer de sets Domein En Codominium. Ook bekend als de startset en aankomstset.

Kan u van dienst zijn: willekeurige bemonstering: methodologie, voor-, nadelen, voorbeelden

De heerschappij D_F  Bevat de toegestane waarden voor de onafhankelijke variabele. Het codominium C_F  Het wordt gevormd door alle beschikbare waarden voor de afhankelijke variabele. De elementen van C_F gerelateerd aan D_F  Ze weten hoe Functiebereik (r_F )).

Conditionering van functies

Soms kan een functie die geen injectief is, bepaalde conditionering ondergaan. Deze nieuwe voorwaarden kunnen er een van een Injectieffunctie. Alle soorten wijzigingen in het domein en het codominium van de functie zijn geldig, waarbij het doel is om te voldoen aan de injectiviteitseigenschappen in de overeenkomstige relatie.

Voorbeelden van injectieve functies met opgeloste oefeningen

voorbeeld 1

Wees de functie F: R → R gedefinieerd door de lijn F (x) = 2x - 3

A: [Alle reële getallen]

Bron: auteur.

Opgemerkt wordt dat er voor elke domeinwaarde een afbeelding in het codominium is. Deze afbeelding is uniek, wat F een injectieffunctie maakt. Dit is van toepassing op alle lineaire functies (functies waarvan de grotere mate van de variabele één is).

Bron: auteur.

Voorbeeld 2

Wees de functie F: R → R gedefinieerd door F (x) = x² +1

Bron: auteur

Bij het trekken van een horizontale lijn wordt opgemerkt dat de grafiek meer dan eens wordt gevonden. Daarom de functie F is niet injectief terwijl het gedefinieerd is  R → R

Het domein van de functie is geconditioneerd:

                                               F: R⁺ OF 0 → R

Bron: auteur

Nu neemt de onafhankelijke variabele geen negatieve waarden, op deze manier wordt vermeden om resultaten en de functie te herhalen F: R⁺ OF 0 → R gedefinieerd door F (x) = x² + 1 is injectief.

Een andere homologe oplossing zou zijn om het domein naar links te beperken, dat wil zeggen, de functie beperken om alleen negatieve en nulwaarden te nemen.

Het domein van de functie is geconditioneerd

                                               F: R^- OF 0 → R

Bron: auteur

Nu neemt de onafhankelijke variabele geen negatieve waarden, op deze manier wordt vermeden om resultaten en de functie te herhalen F: R^- OF 0 → R gedefinieerd door F (x) = x² + 1 is injectief.

Trigonometrische functies hebben gedrag vergelijkbaar met golven, waar het heel gebruikelijk is om herhalingen van waarden te vinden in de afhankelijke variabele. Door specifieke conditionering kunnen we op basis van de voorkennis van deze functies het domein beperken om aan de injectiviteitsvoorwaarden te voldoen.

Kan u van dienst zijn: Coplanares -punten: vergelijking, voorbeeld en opgeloste oefeningen

Voorbeeld 3

Wees de functie F: [ -π/2, π/2 ] → R gedefinieerd door F (x) = cos (x)

In de interval [[ -π/2 → π/2 ] De cosinusfunctie varieert de resultaten tussen nul en één.

Bron: auteur.

Zoals te zien is in de afbeeldingen. Begin helemaal opnieuw in x = -π/2 en vervolgens maximaal nul bereikt. Het is daarna x = 0 dat de waarden beginnen te herhalen, totdat hij terugkeert naar nul in x = π/2. Op deze manier is dat bekend dat F (x) = cos (x) is niet injectief Voor het interval [[ -π/2, π/2 ] .

Bij het bestuderen van de functieafbeeldingen F (x) = cos (x) Intervallen worden waargenomen wanneer het gedrag van de curve zich aanpast aan de injectiviteitscriteria. Zoals het interval

[0 , π ]

Waarbij de functie de resultaten varieert van 1 tot -1, zonder enige waarde in de afhankelijke variabele te herhalen.

Op deze manier functioneert de functie -functie F: [0 , π ] → R gedefinieerd door F (x) = cos (x). Het is injectief

Er zijn niet -lineaire functies waarbij vergelijkbare gevallen worden gepresenteerd. Voor rationele uitdrukkingen, waar de noemer ten minste één variabele herbergt, zijn er beperkingen die de injectiviteit van de relatie voorkomen.

Voorbeeld 4

Wees de functie F: R → R gedefinieerd door F (x) = 10/x

De functie is gedefinieerd voor alle reële getallen behalve 0 die een onbepaaldheid presenteert (het kan niet worden verdeeld tussen nul).

Bij het naderen van nul aan de linkerkant neemt de afhankelijke variabele zeer grote negatieve waarden, en onmiddellijk na nul nemen de waarden van de afhankelijke variabele grote positieve cijfers toe.

Deze verstoring maakt de uitdrukking F: R → R gedefinieerd door F (x) = 10/x

Wees niet injectief.

Zoals te zien in de vorige voorbeelden, dient de uitsluiting van waarden in het domein om deze onbeperkingen te "repareren". Zero is uitgesloten van het domein, waardoor de set- en aankomstsets als volgt worden gedefinieerd:

R - 0 → R

Waar R - 0 symboliseert het echte behalve een set waarvan het enige element nul is.

Op deze manier de uitdrukking F: r - 0 → R gedefinieerd door F (x) = 10/x is injectief.

 Voorbeeld 5

Wees de functie F: [0 , π ] → R gedefinieerd door F (x) = sin (x)

In de interval [0 , π ] De sinusfunctie varieert de resultaten tussen nul en één.

Kan u van dienst zijn: Willekeurige variabele: concept, typen, voorbeeldenBron: auteur.

Zoals te zien is in de afbeeldingen. Begin helemaal opnieuw in x = 0 dan een maximum bereiken x = π/2. Het is daarna x = π/2 dat de waarden beginnen te worden herhaald, totdat hij terugkeert naar nul x = π. Op deze manier is dat bekend dat F (x) = sin (x) is niet injectief Voor het interval [0 , π ] .

Bij het bestuderen van de functieafbeeldingen F (x) = sin (x) Intervallen worden waargenomen wanneer het gedrag van de curve zich aanpast aan de injectiviteitscriteria. Zoals het interval  [[  π/2,3π/2  ]

Waarbij de functie de resultaten varieert van 1 tot -1, zonder enige waarde in de afhankelijke variabele te herhalen.

Op deze manier de functie F: [  π/2,3π/2  ] → R gedefinieerd door F (x) = sin (x). Het is injectief

Voorbeeld 6

Controleer of de functie F: [0, ∞) → R gedefinieerd door F (x) = 3x² Het is injectief.

Bij deze gelegenheid is het domein van de uitdrukking al beperkt. Er wordt ook waargenomen dat de afhankelijke variabele waarden niet in dit interval worden herhaald.

Daarom kan worden geconcludeerd dat F: [0, ∞) → R gedefinieerd door F (x) = 3x²   Het is injectief

Voorbeeld 7

Identificeer welke van de volgende functies is

Bron: auteur

1. Het is injectief. De bijbehorende elementen van het codominium zijn uniek voor elke waarde van de onafhankelijke variabele.
2. Het is geen injectief. Er zijn elementen van het co -oominium geassocieerd met meer dan één element van de startset.
3. Het is injectief
4. Het is geen injectief

Voorgestelde oefeningen voor klasse/huis

Controleer of de volgende functies injectief zijn:

F: [0, ∞) → R gedefinieerd door F (x) = (x + 3)²  

F: [ π/2,3π/2  ] → R gedefinieerd door F (x) = tan (x)

F: [ -π,π  ] → R gedefinieerd door F (x) = cos (x + 1)

F: R → R gedefinieerd door de lijn F (x) = 7x + 2

Referenties

1. Inleiding tot logica en kritisch denken. Merrilee h. Zalm. Universiteit van Pittsburgh
2. Problemen in wiskundige analyse. Piotr Barar, Alfred Witkowski. Universiteit van Wroclaw. Pool.
3. Elementen van abstracte analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Afdeling Wiskunde. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Inleiding tot logica en de methodologie van de deductieve wetenschappen. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Universiteit krant.
5. Wiskundige analyseprincipes. Enrique Linés Escardó. Redactionele terugvordering. Tot 1991. Barcelona, ​​Spanje.