Facturering

Wat is de factorisatie?

Factorisatie is een methode waardoor een polynoom wordt uitgedrukt in de vorm van vermenigvuldiging van factoren, die getallen, letters of beide kunnen zijn. Factor, de factoren die gebruikelijk zijn van de termen zijn gegroepeerd, en op deze manier wordt de polynoom in verschillende polynomen ontbonden.

Dus wanneer de factoren zich met elkaar vermenigvuldigen, is het resultaat het oorspronkelijke polynoom. Factorisatie is een zeer nuttige methode wanneer er algebraïsche uitdrukkingen zijn, omdat het de vermenigvuldiging van verschillende eenvoudige termen kan worden; Bijvoorbeeld: 2e² + 2AB = 2A _* (A + B).

Er zijn gevallen waarin een polynoom niet kan worden gefactureerd omdat er geen gemeenschappelijke factor is tussen de voorwaarden ervan; Aldus zijn deze algebraïsche uitdrukkingen alleen deelbaar tussen zichzelf en door 1. Bijvoorbeeld: x + y + z.

In een algebraïsche uitdrukking is de gemeenschappelijke factor de maximale gemeenschappelijke deler van de termen waarmee deze samenhangt.

Factorisatiemethoden

Er zijn verschillende factorisatiemethoden, die worden toegepast, afhankelijk van de zaak. Sommige hiervan zijn de volgende:

Veel voorkomende factorisatie

In deze methode worden die factoren die gebruikelijk zijn geïdentificeerd; dat wil zeggen, degenen die worden herhaald in de termen van de uitdrukking. Vervolgens wordt de distributieve eigenschap toegepast, wordt de maximale gemeenschappelijke deler verwijderd en is de factorisatie voltooid.

Met andere woorden, de gemeenschappelijke factor van de expressie wordt geïdentificeerd en elke term is hiertegen verdeeld; De resulterende termen zullen worden vermenigvuldigd door de maximale gemeenschappelijke deler om de factorisatie uit te drukken.

voorbeeld 1

Factorize (B²x) + (b²En).

Oplossing

Ten eerste is de gemeenschappelijke factor van elke term, die in dit geval B is², En dan zijn de termen als volgt verdeeld tussen de gemeenschappelijke factor:

(B²X) / B² = x

(B²y) / b² = Y.

Factorisatie wordt uitgedrukt, waarbij de gemeenschappelijke factor wordt vermenigvuldigd met de resulterende termen:

(B²x) + (b²y) = b² (x + y).

Voorbeeld 2

Factorize (2e²B³) + (3AB²)).

Oplossing

In dit geval hebben we twee factoren die in elke term worden herhaald die "A" en "B" zijn, en die tot een macht worden verhoogd. Om ze eerst te factureren, worden de twee termen opgesplitst in hun lange vorm:

2_*naar_*naar_*B_*B_*B + 3A_*B_*B

Het is te zien dat de "A" -factor slechts eenmaal in de tweede term wordt herhaald, en de "B" -factor wordt hierin twee keer herhaald; Dus in de eerste termijn is er slechts 2, een factor "A" en één "B"; Terwijl in de tweede termijn slechts 3 overblijft.

Daarom wordt het zo vaak geschreven als "A" en "B" worden herhaald en vermenigvuldigd door de factoren die overblijven van elke term, zoals waargenomen in de afbeelding:

Groeperingsfactorisatie

Aangezien niet in alle gevallen de maximale gemeenschappelijke deler van een polynoom duidelijk wordt uitgedrukt, is het noodzakelijk om andere stappen te maken om polynoom te kunnen herschrijven en dus factoriseert.

Kan u van dienst zijn: conische secties: typen, toepassingen, voorbeelden

Een van die stappen is om de termen van polynoom in verschillende groepen te groeperen en vervolgens de gemeenschappelijke factor methode te gebruiken.

voorbeeld 1

Factoriseer AC + BC + AD + BD.

Oplossing

Er zijn 4 factoren waarbij twee gebruikelijk zijn: in de eerste term is het "C" en in de tweede is het "D". Op die manier zijn de twee termen gegroepeerd en gescheiden:

(AC + BC) + (AD + BD).

Het is nu mogelijk om de gemeenschappelijke factor methode toe te passen, elke term te delen door zijn gemeenschappelijke factor en vervolgens die gemeenschappelijke factor te vermenigvuldigen met de resulterende termen, zoals deze:

(AC + BC) / C = A + B

(ad + bd) / d = a + b

C (A + B) + D (A + B).

Nu wordt een binomiaal verkregen dat voor beide termen gebruikelijk is. Om te factureren wordt het vermenigvuldigd met de resterende factoren; Op die manier moet je:

AC + BC + AD + BD =  (C + D) _* (A + B).

Inspectiefactorisatie

Deze methode wordt gebruikt om kwadratische polynomen te factureren, ook wel trinomials genoemd; dat wil zeggen, degenen die zijn gestructureerd als bijl² ± bx + c, waarbij de waarde van "a" verschilt van 1. Deze methode wordt ook gebruikt wanneer de trinomiale de X -vorm heeft² ± bx + c en de waarde van "a" = 1.

voorbeeld 1

Factor X² + 5x + 6.

Oplossing

Je hebt een kwadratische trinomiale van de X -vorm² ± bx + c. Om het eerst te laten factureren, moeten twee getallen worden gevonden die, bij het vermenigvuldigen, resulteert in de waarde "C" (dat wil zeggen 6) en dat de som gelijk is aan de "B" -coëffic. Die cijfers zijn 2 en 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Op deze manier wordt de uitdrukking als volgt vereenvoudigd:

(X² + 2x) + (3x + 6)

Elke term is factor:

• Voor (x² + 2x) De gemeenschappelijke term wordt verwijderd: x (x + 2)
• Voor (3x + 6) = 3 (x + 2)

De uitdrukking blijft dus:

x (x +2) +3 (x +2).

Omdat je een gemeenschappelijk binomiaal hebt, om de uitdrukking te verminderen, vermenigvuldigt dit dit met overgebleven termen en moet het:

X² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Voorbeeld 2

Factorize 4a² + 12a +9 = 0.

Oplossing

Je hebt een kwadratische trinomiale van de bijlvorm² ± bx + c en om te factureren vermenigvuldigt alle expressie met de coëfficiënt van x²; In dit geval, 4.

4e² + 12a +9 = 0

4e² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² naar² + 12a (4) + 36 = 0

Nu moeten er twee getallen worden gevonden die, wanneer ze met elkaar vermenigvuldigen, resulteren in de waarde van "C" (die 36 is) en dat bij het samenvoegen van de term "A", dat is 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Op die manier wordt de uitdrukking herschreven, rekening houdend met die 4² naar² = 4a _* 4e. Daarom wordt distributieve eigenschap op elke term toegepast:

Kan u van dienst zijn: Mackinder Box

(4a + 6) _* (4a + 6).

Ten slotte wordt de uitdrukking gedeeld door de coëfficiënt van een²; Dat wil zeggen, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6)/ 2).

De uitdrukking is als volgt:

4e² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factorisatie met opmerkelijke producten

Er zijn gevallen waarin, om de polynomen volledig te factureren met de vorige methoden, het een zeer lang proces wordt.

Daarom kan een uitdrukking worden ontwikkeld met de formules van opmerkelijke producten en dus wordt het proces eenvoudiger. Een van de meest gebruikte opmerkelijke producten zijn:

• Verschil van twee vierkanten: (a² - B²) = (a - b) _* (A + B)
• Perfect vierkant van een som: a² + 2AB +B² = (a + b)²
• Perfect vierkant van een verschil: a² - 2AB + B² = (a - b)²
• Verschil van twee kubussen: a³ - B³ = (A-B)_*(naar² + AB + B²))
• Som van twee kubussen: a³ - B³ = (a + b) _* (naar² - AB + B²))

voorbeeld 1

Factorize (5² - X²))

Oplossing

In dit geval is er een verschil van twee vierkanten; Daarom wordt de formule van het opmerkelijke product toegepast:

(naar² - B²) = (a - b) _* (A + B)

(5² - X²) = (5 - x) _* (5 + x)

Voorbeeld 2

Factorize 16x² + 40x + 25²

Oplossing

In dit geval is er een perfect vierkant van een som, omdat twee vierkante termen kunnen worden geïdentificeerd en de term overgebleven is het resultaat van het vermenigvuldigen van twee met de vierkantswortel van de eerste term, door de vierkantswortel van de tweede termijn.

naar² + 2AB +B² = (a + b)²

Om rekening te houden, worden alleen de vierkante wortels van de eerste en derde termijn berekend:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Dan worden de twee resulterende termen uitgedrukt gescheiden door het teken van de bewerking en is alle vierkante polynoom verhoogd:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Voorbeeld 3

Factorize 27a³ - B³

Oplossing

De uitdrukking vertegenwoordigt een aftrekking waarbij twee factoren tot de kubus zijn verhoogd. Om ze te factureren, wordt de formule van het opmerkelijke product van het verschil in kubussen toegepast, namelijk:

naar³ - B³ = (A-B)_*(naar² + AB + B²))

Aldus wordt de kubieke wortel verwijderd uit elke term van de binomiale en vermenigvuldigd met het kwadraat van de eerste term, plus het product van de eerste met de tweede termijn, plus de tweede termijn in het kwadraat.

27a³ - B³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - B³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3AB + B²)]

27a³ - B³ = (3a - b) _* (9a² + 3AB + B²))

Factorisatie met de ruffini -regel

Deze methode wordt gebruikt wanneer u een polynoom van graad groter dan twee hebt, om de expressie te vereenvoudigen tot verschillende kleinere polynomen.

voorbeeld 1

Factorice Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Oplossing

Eerst worden de cijfers die divisors van 12 zijn gezocht, wat de onafhankelijke term is; Dit zijn ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 en ± 12.

Kan u van dienst zijn: veelvouden van 2: wat zijn en uitleg

Vervolgens wordt de X vervangen door deze waarden, van het minst tot het grootst, en daarom wordt bepaald met welke van de waarden de verdeling precies zal zijn; dat wil zeggen, de rest moet 0 zijn:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

En zo verder voor elke deler. In dit geval zijn de gevonden factoren voor x = -1 en x = 2.

De ruffini -methode wordt nu toegepast, volgens welke de expressiecoëfficiënten zullen worden gedeeld door de gevonden factoren zodat de divisie exact is. Polynoomtermen worden geordend van grotere naar lagere exponent; In het geval dat een term ontbreekt met de graad die in de reeks volgt, wordt een 0 op zijn plaats geplaatst.

De coëfficiënten bevinden zich in een schema zoals te zien in de volgende afbeelding.

De eerste coëfficiënt wordt verlaagd en vermenigvuldigd door de deler. In dit geval is de eerste deler -1 en wordt het resultaat in de volgende kolom geplaatst. Vervolgens wordt de waarde van de coëfficiënt met dat resultaat verticaal toegevoegd en wordt het resultaat hieronder geplaatst. Op die manier wordt het proces herhaald tot de laatste kolom.

Dan wordt dezelfde procedure opnieuw herhaald, maar met de tweede deler (die 2 is) omdat de uitdrukking nog steeds kan worden vereenvoudigd.

Dus, voor elke wortel die wordt bereikt, zal de polynoom een ​​term hebben (x - a), waarbij "a" de waarde van de root is:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Aan de andere kant moeten deze voorwaarden worden vermenigvuldigd met de rest die overblijft van de Ruffini 1: 1 en -6 -regel, die factoren zijn die een graad vertegenwoordigen. Op deze manier vormt de uitdrukking: (x² + X - 6).

Het verkrijgen van het resultaat van polynoomfactorisatie volgens de methode van Ruffini is:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (X² + X - 6)

Ten slotte kan graad 2 polynoom dat in de vorige uitdrukking verschijnt, worden herschreven als (x+3) (x-2). Daarom is de uiteindelijke factorisatie:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x+3)_*(X-2).

Referenties

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische geometrie. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Hoe kinderen te leren over het factureren van een polynoom.
3. Manuel Morillo, een. S. (S.F.)). Basis wiskunde met applicaties.
4. Roelse, p. L. (1997). Lineaire methoden voor polynoomfactorisatie over eindige velden: theorie en implementaties. Universiteit Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringen en factorisatie.