Gemeenschappelijke factorkenmerken, voorbeelden, oefeningen

Hij veelvoorkomende factor van een algebraïsche uitdrukking is een hoeveelheid die in alle termen hiervan aanwezig is. Wanneer de gemeenschappelijke factor bekend is, is het mogelijk om de uitdrukking op een equivalente manier te schrijven door een product van factoren.

Niet alle algebraïsche uitdrukkingen hebben een gemeenschappelijke factor, er zijn alleen degenen die alleen tussen hen kunnen worden verdeeld en 1, daarom is het niet mogelijk om ze te schrijven als een product van factoren. Een voorbeeld van expressie die geen gemeenschappelijke factor heeft, is:

x + y

Figuur 1. De gemeenschappelijke factor van een algebraïsche expressie maakt het het aangegeven product van twee factoren. Bron: Pixabay.

In plaats daarvan ja:

5a + 10b

Het is te zien dat de 5 in beide termen aanwezig is, aangezien 10 = 5 ∙ 2. Omdat 5 de gemeenschappelijke factor is, kan het volgende worden geschreven:

5a + 10b = 5 ∙ (a + 2b)

De lezer kan via distributieve eigenschap controleren, dat de uitdrukking aan de rechterkant gelijk is aan het origineel.

De gemeenschappelijke factor kan ook letterlijk zijn of een combinatie van getallen en letters, bijvoorbeeld in 4x² - 2x. De X en de 2 Ze zijn tussen de factoren en de uitdrukking blijft als een product:

4x² -2x = 2x⋅ (x -1)

Het voordeel van het vinden van de gemeenschappelijke factor van een uitdrukking en het schrijven als een product is dat het bijna altijd gemakkelijk is om ermee te werken. Daarom wordt het gebruikt in veel algebraïsche en berekeningsprocedures zoals:

-Bij het oplossen van vergelijkingen, waarvan de oplossingen snel worden onthuld wanneer de gemeenschappelijke factor wordt gevonden.

-Bij het berekenen van een limiet met een onbepaaldheid kan dit verdwijnen door goed factureren.

-De juiste factorisatie vergemakkelijkt ook bewerkingen met rationele algebraïsche uitdrukkingen, zoals bedragen en aftrekkingen.

[TOC]

Veel voorkomende factorkenmerken

De belangrijkste kenmerken van de gemeenschappelijke factor zijn als volgt:

-Het kan een getal zijn, een algebraïsche uitdrukking of een combinatie van beide.

-De gemeenschappelijke factor moet worden opgenomen in elk van de termen van de uitdrukking om factor te zijn.

Kan u bedienen: transcendente functies: typen, definitie, eigenschappen, voorbeelden

-Volgens de hoeveelheid voorwaarden die het bevat, kan dit het geval zijn van:

1. Gemeenschappelijke monomiale factor, als de gemeenschappelijke factor van een enkele term is,
2. Gemeenschappelijke binomiale factor als u twee termen hebt en
3. Gemeenschappelijke polynoomfactor, als de gemeenschappelijke factor uit meerdere termen bestaat.

Hoe u de gemeenschappelijke factor van een algebraïsche uitdrukking kunt vinden?

Om de gemeenschappelijke factor te vinden die aanwezig is in een polynoom, moet u de maximale gemeenschappelijke deler of MCD van de numerieke coëfficiënten van alle termen berekenen, evenals de letters of literalen van elke term en de kracht kiezen met de geringste exponent.

De letters of literalen kunnen worden gepresenteerd als monomials, binomials of polynomen, zoals in de volgende voorbeelden zal worden gezien.

Het meest aanbevolen om het proces van het verkrijgen van de gemeenschappelijke factor te begrijpen, is om de voorbeelden te volgen en in elk geval verschillende oefeningen op te lossen.

Voorbeelden van veel voorkomende factoren

We moeten het feit niet verliezen dat het doel van de gemeenschappelijke factor een uitdrukking wordt omgezet in een aangegeven product van factoren. Dan worden de meest relevante gevallen geanalyseerd:

Gemeenschappelijke monomiale factor

Je hebt de volgende monomials (algebraïsche uitdrukkingen met één termijn):

2x²; 10x⁴En; 100x⁶En²

Wat kan de gemeenschappelijke factor zijn voor de drie?

Beginnend met de numerieke coëfficiënten: 2, 10 en 100, zijn ze allemaal gelijk en hun MCD is 2. Wat betreft het letterlijke deel, variabele X is aanwezig in de drie termen, en het laagste vermogen is x², Dan is de gemeenschappelijke factor 2x².

De drie voorgestelde termen kunnen op deze manier als producten van deze factor worden geschreven:

2x²= 2x²∙ 1

10x⁴y = 2x² ∙ 5x²En

100x⁶En²= 2x²∙ 50x⁴En²

Het vermenigvuldigen van de factoren rechts, het kan worden geverifieerd dat de term van links is verkregen.

Figuur 2. Illustratie die de gemeenschappelijke factor vertegenwoordigt. Bron: Wikimedia Commons.

Deze techniek wordt toegepast wanneer het nodig is om een ​​algebraïsche expressie te factureren, zoals in de volgende voorbeelden:

• voorbeeld 1

Feit de volgende uitdrukking:

Het kan je van dienst zijn: Issmeles Triangle

5x³en + 10x²En² + 5xy²

De MCD van de numerieke coëfficiënten van elke term is:

MCD (5.10) = 5

Wat betreft het letterlijke deel, zowel de X als de En Ze zijn aanwezig in de drie termen en de minste exponent van elk is 1, daarom is de gemeenschappelijke factor 5xy En je kunt schrijven:

5x³en + 10x²En² + 5xy²= 5xy ∙ (x² +2xy²+En)

Gemeenschappelijke polynoomfactor

De gemeenschappelijke factor kan bestaan ​​uit een binomiaal, een trinomiaal of in het algemeen in een polynoom. In dit geval zijn de instructies in de vorige sectie nog steeds geldig en kiezen ze als een gemeenschappelijke factor met de geringste exponent.

• Voorbeeld 2

Schrijf de volgende uitdrukking als het product van twee factoren:

2a (x - 1) - 3b (x - 1)

Door directe inspectie is de gemeenschappelijke factor de binomiale (X-1), Dus:

2a (x - 1) - 3b (x - 1) = (x -1) ∙ (2a - 3b)

Factorisatie door voorwaarden te groeperen

Soms is het bestaan ​​van een gemeenschappelijke factor niet duidelijk, maar het wordt onthuld als de termen op een handige manier zijn gegroepeerd:

• Voorbeeld 3

Factoriseer 3x³ - 9ax² - X + 3A

Op het eerste gezicht is er geen gemeenschappelijke factor in deze vier termen, omdat bijvoorbeeld de X Het is aanwezig in de eerste drie, maar niet in het laatste. En de naar Het is in de tweede en in de laatste niets meer.

Wat de coëfficiënten betreft, er zijn drie termen waarin de 3 aanwezig zijn, maar als een gemeenschappelijke factor, moet deze in alle termen zijn.

Het lijkt erop dat de beschreven technieken deze keer niet kunnen worden toegepast. De uitdrukking kan echter rekening houden met het groeperen van de eerste twee termen en de laatste twee, voorzichtig zijn bij het plaatsen van de haakjes, dat de tekenen gepast zijn om het origineel niet te wijzigen:

Kan u van dienst zijn: rechthoekige componenten van een vector (met oefeningen)

3x³ - 9ax² - x + 3a = (3x³ - 9ax²) - (x - 3a)

Let op het negatieve teken in het midden van de haakjes: het is noodzakelijk, omdat anders de oorspronkelijke uitdrukking zou veranderen.

In de linker haakjes is de gemeenschappelijke factor 3x², daarom:

(3x³ - 9ax²) - (x - 3a) = 3x²⋅ (x - 3a) - (x - 3a)

En er wordt waargenomen dat er al een gemeenschappelijke factor is verschenen: (x - 3a), Dat wil zeggen, het is voor de tweede keer een factor om te verkrijgen:

3x² (X- 3a) - (x - 3a) = (x - 3a) ∙ ( 3x²- 1)

Veel voorkomende factoroefeningen

Oefening 1

Los de 4x -vergelijking op³ +7x²  +6x = 0

Oplossing

"X" is daarom een ​​gemeenschappelijke factor:

3x³ −5X²  +2x = x (3x² −5x +2) = 0

Voor de uitdrukking links, het is 0, het is voldoende dat aan een van deze twee voorwaarden wordt voldaan:

x = 0

OF:

3x² −5x +2 = 0

Dit is een complete tweedegraads vergelijking die kan worden opgelost door de algemene formule toe te passen, ook door een wetenschappelijke calculator of andere algebraïsche methode te gebruiken. De oplossingen van deze vergelijking zijn:

x = 1

x = 2/3

Eenmaal gevonden, is het illustratief om de vergelijking te schrijven als het product van 3 factoren, hoewel de verklaring er niet om heeft gevraagd. Het zou zo zijn:

x⋅ (x-1) ⋅ (x-2/3) = 0

Oefening 2

Bereken de volgende limiet als deze bestaat:

Oplossing

Eerst wordt het vervangen op x = −2 om te proberen de limiet te evalueren, waardoor deze wordt verkregen:

Omdat het een onbepaaldheid van het 0/0 -formulier is, moet je een factor zijn om het te elimineren. De noemer kan geen factor zijn, maar de teller wel.

In de teller is de gemeenschappelijke factor X:

X²+2x = x ∙ (x+2)

De gefactoriseerde expressie wordt vervangen in de limiet en op deze manier verdwijnt de onbepaaldheid:

Er wordt geconcludeerd dat de limiet bestaat en −2 waard is.

Referenties

1. Baldor, een. 2005. Algebra. Culturele thuislandgroep.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Larson, r. 2012. Voorzetting. 8e. Editie. Cengage leren.
4. Stewart, J. 2007. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.
5. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.