Opgeloste factorisatieoefeningen

De facturering Het is de algebraïsche procedure waarmee een algebraïsche uitdrukking producten van eenvoudiger termen wordt. Op deze manier zijn veel berekeningen vereenvoudigd.

Factorisatie -oefeningen helpen om deze techniek te begrijpen, die veel wordt gebruikt in de wiskunde en bestaat uit het schrijven van een som als een product van bepaalde termen.

Figuur 1.- Door rekening te houden met een uitgebreide algebraïsche uitdrukking wordt omgezet in een product van factoren waarmee het comfortabel is om te werken. Bron: f. Zapata.

Om adequaat te factureren, moet u beginnen met te zien of er letters en getallen zijn die gemeenschappelijk zijn voor elke termijn. Bijvoorbeeld de uitdrukking 5x⁴ -10x³ + 25x², die drie termen bevat, kan het factor zijn dat de "x" in elk wordt herhaald, hoewel met verschillende kracht. Wat betreft de numerieke coëfficiënten, ze zijn allemaal veelvouden van 5.

Dus de gemeenschappelijke factor bestaat uit:

-Het product tussen de maximale gemeenschappelijke deler van de coëfficiënten en

-De minste kracht van de letters die verschijnen.

In het voorbeeld is de gemeenschappelijke factor:

5x²

En de uitdrukking blijft als volgt:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

De lezer kan de toepassing van distributieve eigenschap controleren, dat beide uitdrukkingen equivalent zijn.

[TOC]

Factorisatiemethoden: vierkant verschil

Niet alle algebraïsche uitdrukkingen factureren zoals we net hebben gedaan, dus hier zullen we laten zien hoe we verschillende methoden kunnen gebruiken met opgeloste stap voor stap.

Dus, met een beetje oefening, leert de lezer de meest handige methode toe te passen in gevallen zoals:

-Binomiale en trinomiale factorisatie.

-Polynoomfactorisatie.

-Polynomiale wortelsberekening.

Het beeld van figuur 1 is zeer nuttig wanneer de vraag rijst: wat voor soort factorisatie gebruikt voor een oefening?

We beginnen met een verschil van vierkanten, waarvoor de formule 1 van de tabel wordt toegepast.

- Oefening opgelost 1

Factor de 16x binomiaal² - 49

Oplossing

In dit voorbeeld wordt de kracht niet herhaald en zijn de numerieke coëfficiënten geen neven met elkaar, zoals in het voorbeeld van het principe. Als echter wordt geverifieerd dat de gegeven uitdrukking een Verschil van vierkanten, Formule 1 kan worden toegepast.

Het enige dat nodig is, is om de voorwaarden te identificeren naar En B:

naar² = 16x² → a = √ (16x²) = 4x
B² = 49 → B = 49 = 7

Eenmaal geïdentificeerd, ga verder met het vervangen van de formule:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Kan u van dienst zijn: vermindering van vergelijkbare termen

En de uitdrukking blijft als het product van de twee factoren.

In dit en in alle gevallen die ze volgen, kan de lezer bevestigen dat als hij het resultaat ontwikkelt met de distributieve eigenschap, de oorspronkelijke algebraïsche uitdrukking wordt verkregen.

Perfecte vierkante trinomiale factorisatie

Deze gevallen komen overeen met formules 2 en 3 van figuur 1. Voordat het echter wordt toegepast, moet worden geverifieerd dat de uitdrukking wordt vervuld dat:

-Twee termen zijn de perfecte vierkanten van naar En B.

-De resterende term is het dubbele product van A en B, dat wil zeggen: 2AB.

Als het bovenstaande waar is, is het een perfect vierkante trinomiaal en worden de formules direct aangebracht.

- Oefening opgelost 2

Factor Trinomial: X² + 12x + 36

Oplossing

Deze uitdrukking lijkt geschikt om Formule 2 in de doos toe te passen, maar eerst moeten we verifiëren dat het een perfect vierkante trinomiaal is. Eerst wordt opgemerkt dat zowel de eerste als de derde term perfecte vierkanten zijn:

• X² Het is het perfecte vierkant van X, omdat (x)² = x²
• 36 is het perfecte vierkant van 6, sinds 6² = 36

Dus:

A = x
B = 6

En ten slotte moet worden geverifieerd dat de resterende term 2AB is, en inderdaad:

12x = 2⋅x⋅6

Het trekt alleen rekening mee volgens de formule:

X² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Oefening opgelost 3

Schrijf de uitdrukking 4x² -20x + 25 in gefactoriseerde vorm.

Oplossing

Omdat er een negatieve tekenterm is, zou Formule 3 in de doos kunnen dienen, maar voordat moet worden geverifieerd dat het een perfect vierkante trinomiaal is:

• 4x² Het is het 2x vierkant, omdat (2x)² = 4x², Daarom a = 2x
• 25 is gelijk aan 5², Dan B = 5
• De term 20x is gelijk aan 2⋅2x⋅5 = 20x

De factorisatie blijft als volgt:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Som en verschil van blokjes

Wanneer u bedragen of verschillen in kubussen heeft, zijn formules 4 of 5 van toepassing afhankelijk van de zaak.

- Oefening opgelost 4

Factoriseer 8x³ - 27

Oplossing

We hebben hier een verschil in blokjes, dus het extraheren van de kubieke wortel van elke term:

Dan a = 2x en b = 3.

Formule 4 wordt gevolgd, wat geschikt is voor het verschil in kubussen:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Factorisatie door voorwaarden te groeperen

In de volgende afbeelding is er een polynoom met vier termen die moeten worden gefactureerd. De eerste drie termen hebben "X" gemeen, maar de laatste doet dat niet. We kunnen ook niet zeggen dat numerieke coëfficiënten veelvouden van dezelfde factor zijn.

Kan u van dienst zijn: convexe polygoon: definitie, elementen, eigenschappen, voorbeelden

We zullen echter proberen de termen in twee delen met haakjes te groeperen, aangegeven met de gele pijl: de eerste twee termen hebben de "x" gemeen, terwijl de laatste twee gemeen hebben dat de coëfficiënten veelvouden van 5 zijn.

We houden rekening met deze twee groepen (Blue Arrow). Nu moet de lezer zien dat bij het factureren een nieuwe gemeenschappelijke factor uitkomt: de haakjes (3x+2).

Touch Factorize voor de tweede keer (roze pijl), omdat (3x+2) een gemeenschappelijke factor is van x en 5.

Figuur 2. Een voorbeeld van hoe te factureren voor het groeperen van termen. Bron: f. Zapata.

De wortels van een polynoom

Zijn de waarden van de variabele die de polynoom annuleren. Als het een polynoom is waarvan de variabele "x" is, zoals we hebben gezien, omdat het gaat over het vinden van de waarden van x zodat bij het vervangen, de verkregen numerieke waarde is 0.

Factorisatie is een methode om nullen te vinden in sommige polynomen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

- Oefening opgelost 5

Vind de nullen van Trinomial X² -2x - 3

Oplossing

We houden rekening met het trinomiaal, maar dit is geen perfect vierkant trinomiaal. We kunnen echter een procedure van Tanteo uitvoeren. We schreven het Trinomial als het product van twee factoren, zoals deze:

X² -2x - 3 = (x) . (X)

In de eerste haakjes wordt het eerste trinomiale teken geplaatst, van links naar rechts gezien. Dit is een teken (-). In de tweede haakjes, het product van de twee tekenen die na de termijn met x verschijnen²:

(-) x (-) = +

Op deze manier zal de factorisatie worden gezien:

X² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Nu moet je op zoek gaan naar twee nummers A en B die in de lege ruimtes worden geplaatst. Wanneer vermenigvuldigd moet 3 zijn:

• A X B = 3

En ze moeten ook voldoen aan het feit dat het bij het resultaat 2 is, omdat de tekenen van haakjes verschillend zijn.

(Als ze gelijke tekenen waren geweest, moeten twee nummers A en B worden gezocht dat ze, wanneer toegevoegd de coëfficiënt van de term met "X" gaven). Dus:

• A - B = 2

De cijfers die aan beide voorwaarden voldoen, zijn 3 en 1, omdat:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Het hoogste aantal wordt geplaatst in de haakjes van links en de factorisatie blijft als volgt:

X² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

De nullen van de polynoom zijn de waarden van X die elke factor annuleren:

Kan u van dienst zijn: zelfs nummers

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

De lezer kan verifiëren dat het vervangen van deze waarden in de oorspronkelijke trinomiale, dit wordt geannuleerd.

Andere oefeningen

- Oefening opgelost 6

Factor de volgende polynoom: p (x) = x²-1.

Oplossing

Het is niet altijd nodig om het oplosmiddel te gebruiken. In dit voorbeeld kan een opmerkelijk product worden gebruikt.

Het herschrijven van de polynoom als volgt.

Met behulp van het opmerkelijke product 1, verschil van vierkanten, kan de polynoom p (x) als volgt rekening houden: p (x) = (x+1) (x-1).

Dit geeft ook aan dat de wortels van P (x) x1 = -1 en x2 = 1 zijn.

- Oefening opgelost 7

Feit het volgende polynoom: q (x) = x³ - 8.

Oplossing

Er is een opmerkelijk product dat het volgende zegt: a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²).

Als je dit weet, kun je de polynoom Q (x) als volgt herschrijven: q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Nu, met behulp van het opmerkelijke beschreven product, is de factorisatie van de polynoom Q (x) q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2²) = (x-2) (x²+2x+ 4).

Het ontbreken van de kwadratische polynoom die in de vorige stap ontstond. Maar indien waargenomen, kan de opmerkelijke productnummer 2 helpen; Daarom wordt de uiteindelijke factorisatie van Q (x) gegeven door Q (x) = (x-2) (x+2) ².

Dit zegt dat een wortel van Q (x) x1 = 2 is, en dat x2 = x3 = 2 de andere wortel is van Q (x), die wordt herhaald.

- Oefening opgelost 8

Factorize r (x) = x² - x - 6.

Oplossing

Wanneer een opmerkelijk product niet kan worden gedetecteerd, of de noodzakelijke ervaring om de uitdrukking te manipuleren niet beschikbaar is, wordt het gebruik van het resolvent voortgezet. De waarden zijn de volgende a = 1, b = -1 en c = -6.

Bij het vervangen van ze in de formule is het x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Vanaf hier zijn twee oplossingen die de volgende zijn:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Daarom kan polynoom r (x) rekening houden met r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Oefening opgelost 9

Factor h (x) = x³ - x² - 2x.

Oplossing

In deze oefening kunt u beginnen met het uitschakelen van de gemeenschappelijke factor X en wordt verkregen dat H (x) = x (x²-x-2).

Daarom blijft het alleen om de kwadratische polynoom te factureren. Het oplosmiddel opnieuw gebruiken, moeten de wortels zijn:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2))))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Daarom zijn de wortels van de kwadratische polynoom x1 = 1 en x2 = -2.

Concluderend wordt de factorisatie van de polynoom H (x) gegeven door H (x) = x (x-1) (x+2).

Referenties

1. Baldor. 1977. Elementaire algebra. Venezolaanse culturele edities.
2. Wortels van een polynoom. Wat zijn en hoe worden gesteld stap voor stap. Hersteld van: ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.
5. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.