Algemene Parabola -vergelijking (voorbeelden en oefeningen)

De Parable Algemene vergelijking bevat kwadratische termen in X en in En, evenals lineaire termen in beide variabelen plus een onafhankelijke termijn. De eerste symmetrieas is parallel aan de verticale as en die van de tweede is de horizontale as.

Over het algemeen is de kwadratische vergelijking die de gekruiste term mist XY Het is geschreven als:

Bijl² + Cy² +Dx + ey + f = 0

De waarden van A, C, D, E en F zijn reële getallen. De voorwaarden opleggen bij ∙ c = 0 en a+c ≠ 0, de curve die het gevolg is van het grafische van de punten die voldoen aan deze vergelijking is een parabool.

Zaak 1

Voor een verticale gelijkenis is de algemene vergelijking ervan:

Bijl² + Dx + ey + f = 0

Waar a en e verschillen van 0. Met andere woorden, wanneer een term verschijnt met x², De gelijkenis is verticaal.

Case 2

Van zijn kant, voor de horizontale gelijkenis die je hebt:

Cy² + Dx + ey + f = 0

Hier verschillen C en D ook verschillen van 0, daarom komt de kwadratische term overeen met en².

In elk geval is de algemene vergelijking van de gelijkenis kwadratisch in een van de variabelen en lineair in de andere.

Gelijkenisselementen

Figuur 2. Gelijkenisselementen. De afstanden QF en QH zijn gelijk. Bron: Wikimedia Commons.

De parabola, gedefinieerd als een geometrische plaats, bestaat uit de reeks punten van het ene vlak dat overeenkomt met een ander punt dat wordt genoemd focus En ook van een regel, bekend als Rechte richtlijn.

Uit de algemene vergelijking is het mogelijk om de gelijkenis te bestuderen door zijn elementen te specificeren. Inclusief de focus en de richtlijn, deze elementen, zijn kort beschreven:

-As, die verwijst naar de symmetrieas van de parabool, kan horizontaal zijn (parallel aan de as van de abscis) of verticaal (parallel aan de as van de ordinaten).

Kan u van dienst zijn: gemeenschappelijke factor voor het groeperen van termen: voorbeelden, oefeningen

-Oriëntatie, die op zijn beurt overeenkomt met de oriëntatie van de as. De gelijkenis is verticaal als de symmetrieas verticaal is en het is horizontaal wanneer de as ook is.

-Hoekpunt, Het is het punt waarop de as de gelijkenis snijdt.

-Focus, punt op de as, in de gelijkenis en op afstand P van het hoekpunt. Alle punten van de parabola equidist de focus en de richting van de richtlijn.

-Parameter, Het is de afstand P Tussen de focus en het hoekpunt.

-Rechte richtlijn, die loodrecht staat op de y -as en ook een afstand P van het hoekpunt van de gelijkenis, maar snijdt het niet, omdat het aan de buitenkant is.

-Rechte kant, Het is het touw dat door de focus gaat en de gelijkenis in twee punten snijdt, loodrecht op zijn as.

-Excentriciteit, dat het in het geval van de parabola altijd waard is 1.

-Grafische weergave.

Informatie om al deze elementen te bepalen is opgenomen in de algemene vergelijking.

De canonieke vorm

Om de elementen van de parabool te bepalen, is het soms handig om de algemene vorm door te geven aan de canonieke vorm van hetzelfde, door middel van de methode voor het voltooien van vierkanten in de kwadratische variabele.

Deze canonieke vorm is:

(X-H)² = 4p (y-k)

Waar punt (h, k) het hoekpunt van de gelijkenis is. De canonieke vorm voor de algemene vergelijking kan ook worden, het ontwikkelen van het opmerkelijke product en het herschikken van de voorwaarden.

Voorbeelden

voorbeeld 1

De volgende zijn paraboolvergelijkingen in het algemeen:

a) 4x² + 5y - 3 = 0

b) 1 - 2y + 3x -en² = 0

In a) worden de coëfficiënten geïdentificeerd: a = 4, c = 0, d = 0, e = 5, f = -3. Het is een gelijkenis waarvan de symmetrieas verticaal is.

Kan u van dienst zijn: synthetische verdeling

Van zijn kant, in b) de algemene vergelijking blijft:

- En² + 3x - 2y + 1 = 0

En de coëfficiënten zijn: c = -1, d = 3, e = -2 en f = 1.

Voorbeeld 2

De volgende gelijkenis is in een canonieke vorm:

(Y-1)² = 6 (x-3)

Om de algemene vergelijking te vinden, wordt het opmerkelijke product ontwikkeld en wordt de haakjes aan de rechterkant uitgevoerd:

En² -2y + 1 = 6x -18

Nu worden alle voorwaarden aan de linkerkant aangenomen en zijn ze handig gegroepeerd:

En² -2y + 1- 6x +18 = 0 → en² - 6x -2y + 19 = 0

Zoals de kwadratische term is en² Het is een horizontale gelijkenis. De coëfficiënten zijn:

C = 1; D = -6; E = -2, f = 19.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

De volgende gelijkenis wordt in het algemeen gegeven:

X² -10x -12y - 11 = 0

Er wordt gevraagd om het in de canonieke vorm te schrijven.

Oplossing

Ga naar de canonieke vorm wordt bereikt door vierkanten in dit geval in variabele X te voltooien. De termen in X beginnen tussen haakjes:

(X² -10x) -12y - 11 = 0

Je moet transformeren wat tussen haakjes zit in een perfect vierkant trinomiaal, dat wordt bereikt door 5 toe te voegen², Dat moet natuurlijk worden afgetrokken, omdat anders de uitdrukking wordt gewijzigd. Het blijft zo:

(X² −10x+5²) −12y - 11−5²= 0

De drie termen tussen haakjes vormen de perfecte vierkante trinomiale (x-5)². Het kan worden gecontroleerd door dit opmerkelijke product te ontwikkelen om te bevestigen. Nu blijft de gelijkenis over:

(X-5)² -12y -36 = 0

Wat volgt is om de voorwaarden buiten de haakjes te factureren:

(X-5)² -12 (y +3) = 0

Dat verandert uiteindelijk in:

(X-5)² = 12 (y +3)

Voorbeeld 2

Zoek de elementen van de vorige gelijkenis en bouw uw afbeeldingen.

Oplossing

Hoekpunt

Het hoekpunt van de parabool heeft coördinaten V (5, -3)

Het kan je van dienst zijn: hepagonaal prisma

As

De lijn x = 5.

Parameter

Met betrekking tot de parameterwaarde P Dat verschijnt in de canonieke vorm: (X-H)² = 4p (y-k) vergelijkt beide vergelijkingen:

4p = 12

P = 12/4 = 3

Oriëntatie

Deze gelijkenis is verticaal en opent. Omdat het hoekpunt zich bevindt op x = 5, y = -3, dan is de symmetrieas de verticale lijn x = 5.

Focus

De focus ligt op de lijn X = 5, daarom heeft het ook een coördinaat x = 5.

De coördinaat En van de focus moet P-eenheden boven K zijn, dat wil zeggen: P + K = 3 + (-3) = 0, dan ligt de focus op punt (5.0).

Rechte richtlijn

Het staat loodrecht op de as, daarom is het van de vorm y = c, nu, aangezien een afstand p van het hoekpunt verre van is, maar buiten de gelijkenis betekent dit dat het op een afstand p onder K:

y = k -p = -3-3 = -6

Rechte kant

Dit segment snijdt naar de gelijkenis, gaat door de focus en is parallel aan de richtlijn, daarom is het opgenomen in de lijn Y = 0.

Grafische weergave

Het kan gemakkelijk worden verkregen uit gratis online grafische software, zoals Geogebra. In de ingangsbox wordt het als volgt geplaatst:

figuur 3. Grafiek van de gelijkenis x² -10x -12y - 11 = 0. Bron: f. Zapata.

Referenties

1. Baldor. 1977. Elementaire algebra. Venezolaanse culturele edities.
2. Hoffman, J. Selectie van wiskundeproblemen. Deel 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.
5. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.