Opeenvolgende derivaten

Wat zijn opeenvolgende derivaten?

De Opeenvolgende derivaten Ze zijn die afgeleid van een functie na het tweede afgeleide. Het proces om opeenvolgende derivaten te berekenen is als volgt: er is een functie F, die we kunnen afleiden en de afgeleide functie f 'kunnen verkrijgen. Tot deze afgeleide van F kunnen we het opnieuw afleiden, het verkrijgen (f ')'.

Deze nieuwe functie wordt tweede afgeleide genoemd; Alle derivaten berekend uit de tweede zijn opeenvolgend; Deze, ook genoemd in een hogere orde, hebben grote toepassingen, zoals het geven van informatie over de lijn van de grafiek van een functie, de test van de tweede derivaat voor relatieve uiteinden en de bepaling van de oneindige serie.

Definitie

Met behulp van Leibniz -notatie hebben we dat de afgeleide van een "y" -functie met betrekking tot "x" Dy/DX is. Om de tweede afgeleide van "Y" uit te drukken met behulp van de notatie van Leibniz, schrijven we als volgt:

Over het algemeen kunnen we opeenvolgende derivaten als volgt uitdrukken met de notatie van Leibniz, waarbij n de volgorde van de derivaat vertegenwoordigt.

Andere gebruikte notaties zijn als volgt:

Enkele voorbeelden waar we kunnen zien dat de verschillende notaties zijn:

voorbeeld 1

Verkrijg alle derivaten van de F -functie gedefinieerd door:

Met behulp van de gebruikelijke verwijzingstechnieken hebben we dat de F is:

Het herhalen van het proces kunnen we de tweede derivaat verkrijgen, de derde afgeleide, enzovoort.

Merk op dat het vierde derivaat nul is en de nulderivaat nul is, dus we moeten:

Voorbeeld 2

Bereken de vierde afgeleid van de volgende functie:

De gegeven functie afleiden die we hebben als gevolg hiervan:

Snelheid en versnelling

Een van de motivaties die leidde tot de ontdekking van de afgeleide was de zoektocht naar de definitie van onmiddellijke snelheid. De formele definitie is als volgt:

Kan u van dienst zijn: Primo -nummers: kenmerken, voorbeelden, oefeningen

Laat y = f (t) een functie waarvan de grafiek het traject van een deeltje in een oogwenk beschrijft T, Dan wordt zijn snelheid op een onmiddellijke t gegeven door:

Zodra de snelheid van een deeltje is verkregen, kunnen we onmiddellijke versnelling berekenen, die als volgt wordt gedefinieerd:

De onmiddellijke versnelling van een deeltje waarvan het traject wordt gegeven door y = f (t) is:

voorbeeld 1

Een deeltje beweegt op een lijn volgens de positiefunctie:

Waar "y" wordt gemeten in meters en "t" in seconden.

• Op welk moment is je snelheid 0?
• Op welk moment is de versnelling 0 0?

Door de functie "Y" -positie af te leiden, hebben we dat de snelheid en versnelling zijn respectievelijk worden gegeven door:

Om de eerste vraag te beantwoorden, is het voldoende om te bepalen wanneer de V -functie V nul is; dit is:

We gaan verder met de volgende vraag analoog:

Voorbeeld 2

Een deeltje beweegt op een lijn volgens de volgende bewegingsvergelijking:

Bepaal "t, y" en "v" wanneer a = 0.

Wetende dat snelheid en versnelling worden gegeven door

We gaan verder met afleiden en verkrijgen:

A = 0 doen, hebben we:

Waar we kunnen afleiden dat de waarde van t zodat a gelijk is aan nul is t = 1.

Vervolgens moeten we in t = 1 evalueren de positie- en functie -functie:

Toepassingen

Mplícita -afleiding

Opeenvolgende derivaten kunnen ook worden verkregen door impliciete afleiding.

Voorbeeld

Gezien de volgende ellips, zoek "y":

Impliciet afleiden met betrekking tot X, hebben we:

Vervolgens geeft het ons impliciet uit met betrekking tot X, ons:

Eindelijk hebben we:

Relatieve uitersten

Een ander gebruik dat we kunnen geven aan tweede -orderderivaten is in de berekening van relatieve uiteinden van een functie.

Kan u van dienst zijn: hoeveel symmetrie -assen heeft een cirkel?

De criteria van de eerste afgeleide voor lokale uitersten vertelt ons dat als we een continue F -functie in een interval hebben (A, B) en er een C is die tot het genoemde interval is, zo is het geannuleerd in C (dat wil zeggen C (dat wil zeggen C is een kritiek punt), een van deze drie gevallen kan optreden:

• Als f '(x)> 0 voor een x die bij (a, c) en f' (x) hoort,<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.
• Als f '(x) 0 voor x behoort tot (c, b), dan is f (c) een lokaal minimum.
• Als f '(x) hetzelfde teken heeft (a, c) en in (c, b), houdt dit in dat f (c) geen lokaal doel is.

Met behulp van de criteria van de tweede afgeleide kunnen we weten of een cruciaal aantal van een functie een maximum of een lokaal minimum is, zonder te hoeven doen wat het teken van de functie is met de bovengenoemde intervallen.

Het criterium van de tweede drift vertelt ons dat als f '(c) = 0 en dat f "(x) continu is in (a, b), het gebeurt als f" (c)> 0 dan f (c) is een Lokaal minimum en als f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Als f "(c) = 0, kunnen we niets concluderen.

Voorbeeld

Gegeven de functie f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², Zoek het maximale en minimale familielid van F dat de criteria van de tweede afgeleide toepaste.

Eerst berekenen we f '(x) en f "(x) en we hebben:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Nu, f '(x) = 0 ja, en alleen als 4x (x + 2) (x - 1) = 0, en dit gebeurt wanneer x = 0, x = 1 of x = - 2.

Om te bepalen of de verkregen kritieke getallen relatieve uitersten zijn, evalueren gewoon in F "en observeren zo het teken.

Kan je van dienst zijn: heptagon

f "(0) = - 8, dus f (0) is een lokaal maximum.

f "(1) = 12, dus f (1) is een lokaal minimum.

f "(- 2) = 24, dus f (- 2) is een lokaal minimum.

Taylor -serie

Wees F een functie die als volgt is gedefinieerd:

Deze functie heeft een straal van convergentie r> 0 en is afgeleid van alle bestellingen in (-r, r). Opeenvolgende derivaten van f geven ons:

Als we X = 0 nemen, kunnen we de waarden van C verkrijgen_N Afhankelijk van de derivaten als volgt:

Als we n = 0 nemen als de functie f (dwz f^0 = f), kunnen we de functie als volgt herschrijven:

Laten we nu de functie beschouwen als een reeks krachten op x = a:

Als we een analyse van analoog aan de vorige uitvoeren, zouden we de functie F moeten schrijven als:

Deze series staan ​​bekend als Taylor F in een serie. Wanneer a = 0 hebben we het specifieke geval met de naam MacLaurin Series. Dit type series is van groot wiskundig belang, vooral in numerieke analyse, omdat we dankzij deze functies kunnen definiëren in computers zoals E^X , Sin (x) en cos (x).

Voorbeeld

Ontvang de Maclaurin -serie voor E^X.

Merk op dat als f (x) = e^X, Dan f^(N)(x) = e^X en f^(N)(0) = 1, dus je MacLaurin -serie is: