Hoeveel oplossingen heeft een kwadratische vergelijking?

Een kwadratische vergelijking of tweedegraadsvergelijking kan nul hebben, een of twee echte oplossingen, afhankelijk van de coëfficiënten die in genoemde vergelijking verschijnen. Als u op complexe getallen werkt, kunt u zeggen dat elke kwadratische vergelijking twee oplossingen heeft.

Om een ​​kwadratische vergelijking te starten is het een vergelijking van de Ax²+Bx+C = 0 -vorm, waarbij A, B en C reële getallen zijn en X een variabele is.

Er wordt gezegd dat x1 een oplossing is van de vorige kwadratische vergelijking als bij het vervangen van x door x1 aan de vergelijking is voldaan, dat wil zeggen als a (x1) ²+b (x1)+c = 0.

Als u bijvoorbeeld de vergelijking x²-4x+4 = 0 hebt, dan is x1 = 2 de oplossing, aangezien (2) ² (2) +4 = 4-8+4 = 0.

Integendeel, als x2 = 0 wordt vervangen, wordt het verkregen (0) ²-4 (0) +4 = 4 en als 4 ≠ 0 dan is x2 = 0 geen oplossing van de kwadratische vergelijking.

Oplossingen van een kwadratische vergelijking

Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking kan worden gescheiden in twee gevallen die zijn:

1.- In reële cijfers

Bij het werken met reële getallen kunnen kwadratische vergelijkingen hebben:

-Nul oplossingen: dat wil zeggen, er is geen reëel getal dat voldoet aan de kwadratische vergelijking. De vergelijking die bijvoorbeeld x²+1 = 0 is gegeven, er is geen reëel getal dat voldoet aan de genoemde vergelijking, omdat beide x² groter is dan of gelijk is aan nul en 1 groter is dan nul, zodat de som groter zal zijn, zal zijn Strikt dan nul.

-Een herhaalde oplossing: Er is een enkele reële waarde die voldoet aan de kwadratische vergelijking. De enige oplossing van vergelijking x²-4x+4 = 0 is bijvoorbeeld x1 = 2.

-Twee verschillende oplossingen: Er zijn twee waarden die voldoen aan de kwadratische vergelijking. X²+x -2 = 0 heeft bijvoorbeeld twee verschillende oplossingen die x1 = 1 en x2 = -2 zijn.

2.- In complexe getallen

Bij het werken met complexe getallen hebben kwadratische vergelijkingen altijd twee oplossingen, die Z1 en Z2 zijn waar Z2 het conjugaat van Z1 is. Bovendien kunnen ze worden geclassificeerd als:

-Complexen: De oplossingen zijn van de vorm z = p ± qi, waarbij p en q reële getallen zijn. Deze case komt overeen met het eerste geval van de vorige lijst.

-Pure complexen: Het is wanneer het reële deel van de oplossing gelijk is aan nul, dat wil zeggen dat de oplossing de vorm z = ± qi heeft, waarbij q een reëel getal is. Deze case komt overeen met het eerste geval van de vorige lijst.

-Complexen met denkbeeldig deel gelijk aan nul: Het is wanneer het complexe deel van de oplossing gelijk is aan nul, dat wil zeggen dat de oplossing een reëel getal is. Deze case komt overeen met de laatste twee gevallen van de vorige lijst.

Hoe worden de oplossingen van een kwadratische vergelijking berekend?

Om de oplossingen van een kwadratische vergelijking te berekenen, wordt een formule die bekend staat als "de resolutie" gebruikt, die zegt dat de oplossingen van een ax²+bx+c = 0 -vergelijking worden gegeven door de expressie van de volgende afbeelding:

De hoeveelheid die binnen de vierkantswortel verschijnt, wordt het discriminant van de kwadratische vergelijking genoemd en wordt aangeduid met de letter "D".

De kwadratische vergelijking zal zijn:

-Twee echte oplossingen ja, en alleen ja, d> 0.

-Een herhaalde echte oplossing als en alleen als, d = 0.

-Nul echte oplossingen (of twee complexe oplossingen) ja, en alleen ja, D<0.

Voorbeelden

-De oplossingen van de vergelijking x²+x-2 = 0 worden gegeven door:

-De vergelijking x²-4x+4 = 0 heeft een herhaalde oplossing die wordt gegeven door:

-De oplossingen van de vergelijking x²+1 = 0 worden gegeven door:

Zoals te zien is in dit laatste voorbeeld, is x2 het conjugaat van x1.