MESH -analyseconcepten, methoden, voorbeelden

Hij Gaasanalyse Het is een techniek die wordt gebruikt om platte elektrische circuits op te lossen. Deze procedure kan ook in de literatuur verschijnen met de methodenamen van de circuitstromen o Methode van Maasstromen (of lus).

De basis van deze en andere elektrische circuitanalysemethoden ligt in de wetten van de wet van Kirchhoff en Ohm. De wetten van Kirchhoff zijn op hun beurt uitingen van twee zeer belangrijke principes van behoud in natuurkunde voor geïsoleerde systemen: zowel elektrische lading als energie worden bewaard.

Figuur 1. De circuits maken deel uit van ontelbare apparaten. Bron: Pixabay.

Enerzijds is de elektrische lading gerelateerd aan de stroom, die de belasting verplaatst, terwijl in een circuit de energie is gekoppeld aan de spanning, de agent die verantwoordelijk is voor het doen van het nodige werk om de belasting in beweging te houden.

Deze wetten, toegepast op een plat circuit, genereren een set gelijktijdige vergelijkingen die moeten worden opgelost om stroom- of spanningswaarden te verkrijgen.

Het systeem van vergelijkingen kan worden opgelost met reeds bekende analytische technieken, zoals Cramer -regel, waarvoor de berekening van determinanten vereist om de systeemoplossing te verkrijgen.

Afhankelijk van het aantal vergelijkingen worden ze opgelost met behulp van een wetenschappelijke calculator of een wiskundige software. Op het netwerk zijn er ook veel opties beschikbaar.

[TOC]

Belangrijke voorwaarden

Voordat we uitleggen hoe het werkt, zullen we beginnen met het definiëren van deze voorwaarden:

Tak: Sectie met een element van het circuit.

Knooppunt: punt dat twee of meer takken verbindt.

Lintje: Het is elk gesloten gedeelte van een circuit, dat begint en eindigt in hetzelfde knooppunt.

Mazen: lus die geen andere binding binnenin bevat (essentieel gaas)).

Methoden

De mesheale analyse is een algemene methode die dient om circuits op te lossen waarvan de elementen in serie zijn aangesloten, parallel of gemengd, dat wil zeggen, wanneer het type verbinding niet duidelijk wordt onderscheiden. Het circuit moet plat zijn, of het moet tenminste mogelijk zijn om het als zodanig terug te betalen.

Figuur 2. Vlakke en niet -flatcircuits. Bron: Alexander, C. 2006. Elektrische circuitfunderingen. 3e. Editie. MC Graw Hill.

Een voorbeeld van elk type circuit wordt getoond in de bovenstaande figuur. Zodra het punt is verduidelijkt, zullen we de methode als voorbeeld in de volgende sectie op een eenvoudig circuit toepassen, maar voordat we de wetten van Ohm en Kirchhoff kort bekijken.

De wet van Ohm: Sean V De spanning, R de weerstand e Je De stroom van het ohmse resistieve element, waarin de spanning en de stroom direct evenredig zijn, de weerstand is de constante van evenredigheid:

Kan u van dienst zijn: API Gravity: Scale and Classificatie van ruwe olie

V = i.R

Voltage Kirchhoff Law (LKV): In elk gesloten traject dat in één richting wordt afgelegd, is de algebraïsche som van de spanningen nul. Dit omvat spanningen als gevolg van bronnen, weerstanden, inductoren of condensatoren: ∑ e = ∑ r_Je. Je

Kirchhoff van de huidige (LKC): In elk knooppunt is de algebraïsche som van de stromingen nul, rekening houdend met dat de stromen die binnenkomen een bord krijgen en waaraan een ander uitkomt. Op deze manier: ∑ i = 0.

Met de methode van maasstromen is het niet nodig.

- Stappen om mesh -analyse toe te passen

We zullen de methode beginnen uit te leggen voor een 2 -mazencircuit. De procedure kan later worden verlengd voor grotere circuits.

figuur 3. Circuit met weerstanden en bronnen gerangschikt in twee mazen. Bron: f. Zapata.

Stap 1

Wijs en teken onafhankelijke stromingen aan elk gaas, in dit voorbeeld zijn ze dat Je₁ En Je₂. Ze kunnen in een schema worden getrokken of ook anti -horary.

Stap 2

Pas de Kirchhoff -spanningswet (LTK) en de wet van Ohm toe op elk gaas. Potentiële valpartijen krijgen een teken (-) toegewezen terwijl de verhogingen worden toegewezen teken (+).

ABCDA -gaas

Beginnend bij punt A en de betekenis van de stroom volgen, vinden we een toename van het potentieel in batterij E1 (+), dan een daling van R₁ (-) en dan nog een val in r₃ (-).

Tegelijkertijd de weerstand r₃ Het wordt ook gekruist door huidige i₂, Maar in de tegenovergestelde richting vertegenwoordigt het daarom een ​​stijging (+). De eerste vergelijking is als volgt:

EN₁-R₁.Je₁ -R₃.Je₁ + R₃.Je₂ = 0

Onmiddellijk factureren en herbevestigende voorwaarden:

- (R₁+R₃) Yo₁ +R₃Je₂ = -E₁  (Vergelijking 1)

CEFDC -gaas 

Beginnend vanaf het punt En en het volgen van de betekenis van de stroom is een potentiële daling R₂ (-), nog een val in EN₂, Omdat de stroom door de batterijpaal + binnenkomt en uiteindelijk nog een val in R₃ (-) tegelijkertijd de stroom Je₁ Het kruist R₃ In de tegenovergestelde richting (+).

De tweede vergelijking, met de aangegeven tekenen, blijft op deze manier:

- R₂ Je₂ - EN₂ -R₃ Je₂ +R₃ Je₁= 0

R₃Je₁ - (R₂ +R₃₎ Je₂ = E₂  (Vergelijking 2)

Merk op dat er twee vergelijkingen zijn met de twee onbekenden en₁ en ik₂.

Stap 3

Vervolgens wordt het aldus gevormde vergelijkingssysteem opgelost.

Opgeloste oefeningen

Om te beginnen is het belangrijk om rekening te houden met het volgende:

-De stropdassen of maasstromen kunnen een willekeurige richting worden toegewezen.

-Aan elk essentieel gaas - of "venster" - dat het circuit een stroom moet krijgen.

Kan u van dienst zijn: isocorisch proces

-De maasstromen worden opgeroepen met hoofdletters om ze te onderscheiden van de stromingen die in takken circuleren, hoewel in sommige gevallen de stroom die door een tak circuleert hetzelfde kan als die van het gaas.

- voorbeeld 1

Zoek de stromen die door elke weerstand in het circuit in figuur 3 circuleren, als de elementen de volgende waarden hebben:

R₁ = 20 Ω; R₂ = 30 Ω; R₃ = 10 Ω; EN₁ = 12 V; EN₂ = 18 V

Oplossing

In de eerste plaats is het noodzakelijk om de stromen van gaas toe te wijzen en₁ en ik₂ en neem het systeem van vergelijkingen zoals afgeleid in de voorgaande sectie en vervang vervolgens de waarden die in de verklaring zijn gegeven:

- (R₁+R₃) Yo₁ +R₃Je₂ = -E₁  (Vergelijking 1)

R₃Je₁ - (R₂ +R₃₎ Je₂ = E₂     (Vergelijking 2)

-

-(20+30) Je₁ + 10i₂ = -12

10i₁ - (30 +10) i₂ = 18      

--

-vijftigJe₁ + 10i₂ = -12

10i₁ - 40 I₂ = 18      

Omdat het een systeem is van 2 x 2 vergelijkingen, kan het eenvoudig worden opgelost door reductie, met 5 de tweede vergelijking om onbekend te elimineren Je₁:

-vijftigJe₁ + 10 i₂ = -12

50i₁ - 200 i₂ = 90

-     

-190 I₂= 78

Je₂ = - 78/180 a = - 0.41 a

De stroom wordt onmiddellijk gewist Je₁ van een van de oorspronkelijke vergelijkingen:

Je₁ = (18 + 40 i₂) / 10 = (18 + 40 x (-0.41)) / 10 = 0.16 a

Het negatieve teken in de stroom Je₂ betekent dat de stroom in het 2 gaas in strijd is met de tekening.

De stromen in elke weerstand zijn als volgt:

Voor weerstand R₁ De stroom circuleert Je₁ = 0.16 a In de zin getrokken, door weerstand R₂ De stroom circuleert Je₂ = 0.41 a In tegenstelling tot het getrokken, en voor weerstand R₃ circuleert Je₃ = 0.16- (-0.41) a = 0.57 a omlaag.

Systeemoplossing volgens de methode van Cramer

Op een matrix manier kan het systeem als volgt worden opgelost:

Stap 1: Bereken A

 Belangrijk: Wanneer Δ = 0, het systeem heeft geen oplossing, het is een onverenigbaar systeem.

Stap 2: Bereken δ₁

De eerste kolom wordt vervangen door de onafhankelijke voorwaarden van het vergelijkingssysteem, waarbij de volgorde wordt gehandhaafd waarin het systeem oorspronkelijk werd verhoogd:

Stap 3: Bereken i₁

Je₁ = Δ₁/Δ = 300/1900 = 0.16 a

Stap 4: Bereken A₂

 Stap 5: Bereken i₂

Je₂ = Δ₂/Δ = -780/1900 = -0.41 a

- Voorbeeld 2

Bepaal de stroom en de spanningen door elke weerstand in het volgende circuit, door middel van de methode van de maasstromen:

Figuur 4. 3 Mesh Circuit. Bron: Boylestad, r. 2011. Inleiding tot circuitanalyse.2e. Editie. Pearson.

Oplossing

De drie maasstromen worden getekend, zoals getoond in de volgende figuur, in willekeurige zintuigen. Nu lopen de mazen overal weg:

Het kan u van dienst zijn: Imantation: wat bestaat, methode en voorbeelden Figuur 5. Mesh -stromingen voor oefening 2. Bron: f. Zapata, gemodificeerd van Boylestad.

Mesh 1

-9100.Je₁+18-2200.Je₁+9100.Je₂= 0

-11300 i₁ + 9100.Je₂ = -18

Mesh 2       

-(7500 +6800 +9100) .Je₂ + 9100.Je₁+6800.Je₃-18 = 0

9100.Je₁ - 23400.Je₂ + 6800.Je₃ = 18

Mesh 3  

-(6800 + 3300) i₃ + 6800.Je₂ - 3 = 0

6800.Je₂ - 10100.Je₃ = 3

Systeem van vergelijkingen

-11300 i₁ + 9100.Je₂ + 0.Je₃= -18

9100.Je₁ - 23400.Je₂ + 6800.Je₃ = 18

0.Je₁ + 6800.Je₂ - 10100.Je₃ = 3

Hoewel de cijfers groot zijn, wordt het snel opgelost met behulp van een wetenschappelijke calculator. Vergeet niet dat de vergelijkingen moeten worden besteld en voegen nullen toe op de plaatsen waar het onbekende niet verschijnt, zoals het hier verschijnt.

De maasstromen zijn:

Je₁ = 0.0012 a; Je₂ = -0.00048 A; Je₃ = -0.00062 a

De stromingen Je₂ En Je₃ Ze circuleren in de tegenovergestelde richting in de figuur, omdat ze negatief bleken te zijn.

Tabel met stromingen en spanningen in elke weerstand

Weerstand (ω)	Huidige (versterkers)	Spanning = i.R (volt)
9100	Je1 -Je2 = 0.0012-(-0.00048) = 0.00168	vijftien.3
3300	0.00062	2.05
2200	0.0012	2.64
7500	0.00048	3.60
6800	Je2 -Je3= -0.00048-(-0.00062) = 0.00014	0.95

Cramer -regeloplossing

Omdat het grote aantallen zijn, is het handig om wetenschappelijke notatie te gebruiken om rechtstreeks met hen samen te werken.

Berekening van i₁

Kleurpijlen in de 3 x 3 bepalende factor geven aan hoe u numerieke waarden kunt vinden, waarbij u de aangegeven waarden vermenigvuldigt. Laten we beginnen met het verkrijgen van die van de eerste beugel in de determinant δ:

(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2.67 x 10¹²

9100 x 0 x 0 = 0

9100 x 6800 x 0 = 0

We verkrijgen onmiddellijk de tweede beugel in diezelfde determinant, die van links naar rechts werkt (voor deze beugel werden de gekleurde pijlen niet in de figuur getekend). We nodigen de lezer uit om het te verifiëren:

0 x (-23400) x 0 = 0

9100 x 9100 x (-10100) = -8.364 x 10^elf

6800 x 6800 x (-11300) = -5.225 x 10^elf

Op dezelfde manier kan de lezer ook de waarden voor de determinant verifiëren Δ₁.

Belangrijk: Tussen beide beugels is er altijd een negatief teken.

Eindelijk wordt de stroom verkregen Je₁ door Je₁ = Δ₁ / Δ

Je₁ = -1.582 x 10⁹/-1.31 x 10¹² = 0.0012 a                                   

Berekening van i₂

De procedure kan worden herhaald om te berekenen Je₂, In dit geval om de bepalende factor δ te berekenen₂ De tweede kolom van de A -determinant wordt vervangen door de kolom van de onafhankelijke termen en de waarde ervan wordt gevonden, volgens de uitgelegde procedure.

Zoals echter omslachtig is vanwege grote getallen, vooral als er geen wetenschappelijke calculator is, is het eenvoudigst om de waarde van te vervangen Je₁ Reeds berekend, in de volgende vergelijking en duidelijk:

-11300 i₁ + 9100.Je₂ + 0.Je₃= -18 → 9100 i₂= -18 + 11300 i₁ → i₂ = -0.00048 A

I3 Berekening

Eenmaal met de waarden van Je₁ En Je₂ In de hand, de Je₃ Het wordt direct gevonden door vervanging.

Referenties

1. Alexander, c. 2006. Elektrische circuitfunderingen. 3e. Editie. MC Graw Hill.
2. Boylestad, r. 2011. Inleiding tot circuitanalyse.2e. Editie. Pearson.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 5. Elektrische interactie. Uitgegeven door Douglas Figueroa (USB).
4. Garcia, l. 2014. Elektromagnetisme. 2e. Editie. Industriële Universiteit van Santander.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. ED. Deel 2.