Laplace -transformatie

Wat is de transformatie van Laplace?

De Laplace -transformatie Het is de afgelopen jaren van groot belang geweest in engineering, wiskunde, natuurkunde, onder andere wetenschappelijke gebieden, omdat het, naast het zijn van grote belangstelling voor de theoretische.

Oorspronkelijk werd de Laplace-transformatie gepresenteerd door Pierre-Simon LaPlace (1745-1827) in zijn studie over de waarschijnlijkheidstheorie, en werd in principe behandeld als een wiskundig object van louter theoretisch belang.

Huidige toepassingen ontstaan ​​wanneer verschillende wiskundigen probeerden een formele rechtvaardiging te geven aan de "operationele regels" die door Oliver Heaviside (1850-1925) werd gebruikt in de studie van vergelijkingen van elektromagnetische theorie.

Definitie van de Laplace -transformatie

Laat F een gedefinieerde functie zijn voor t ≥ 0. Laplace -transformatie is als volgt gedefinieerd:

Er wordt gezegd dat de Laplace -transformatie bestaat als de vorige integraal convergeert, anders wordt gezegd dat de Laplace -transformatie niet bestaat.

Over het algemeen, om de functie aan te duiden die gewenst is om kleine letters te transformeren en de hoofdletter komt overeen met de transformatie. Op deze manier zullen we hebben:

Voorbeelden

Beschouw een constante functie f (t) = 1. We moeten transformeren:

Op voorwaarde dat de integraal convergeert, dat wil zeggen, op voorwaarde dat S> 0. Anders s s < 0, la integral diverge.

Let g (t) = t. Zijn Laplace -transformatie wordt gegeven door:

Bij het integreren door onderdelen en weten dat^-Ster Het neigt naar 0 wanneer T de neiging heeft om oneindig en s> 0 te hebben, samen met het vorige voorbeeld moeten we:

De transformal kan al dan niet bestaan, bijvoorbeeld voor de functie f (t) = 1/t, de integrale die de laplace -transformatie definieert, convergeert niet en daarom bestaat de getransformeerde ervan niet.

De voldoende voorwaarden om ervoor te zorgen dat de Laplace -transformatie van een functie F bestaat, is dat F continu is in delen voor t ≥ 0 en van exponentiële volgorde is.

Er wordt gezegd dat een functie in delen continu is voor t ≥ 0, wanneer voor een interval [a, b] met een> 0, er een eindig aantal punten t is_k, Waarbij f discontinuïteiten heeft en continu is in elke subinterval [t_K-1,T_k].

Aan de andere kant wordt gezegd dat een exponentiële functie C als er echte constanten zijn m> 0, c en t> 0 zodanig dat:

Als voorbeelden moeten we f (t) = t² Het is exponentieel, omdat | t²| < e^3T Voor alle t> 0.

Formeel hebben we de volgende stelling:

Stelling (voldoende voorwaarden voor het bestaan)

Als F een continue functie is voor t> 0 en exponentiële C, dan is er de Laplace -transformatie voor s> c.

Het is belangrijk om te benadrukken dat dit een voorwaarde van toereikendheid is, dat wil zeggen dat er een geval kan zijn dat er een functie is die niet aan deze voorwaarden voldoet en toch bestaat de transformatie van Laplace.

Een voorbeeld hiervan is de functie f (t) = t^-1/2 die niet continu is in delen voor t ≥ 0 maar de laplace -transformatie bestaat.

Laplace -transformatie van enkele basisfuncties

De volgende tabel toont de Laplace -transformaties van de meest voorkomende functies.

Kan u van dienst zijn: hele nummers

Geschiedenis van de Laplace -transformatie

De Laplace-transformatie is zijn naam verschuldigd aan Pierre-Simon Laplace, wiskundige en Franse astronoom en theoreticus die werd geboren in 1749 en stierf in 1827. Zijn bekendheid was zodanig dat hij bekend stond als de Newton in Frankrijk.

In 1744 wijdde Leonard Euler (1707-1783) zijn studies op aan integralen met de vorm

als oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen, maar hebben dit onderzoek snel verlaten. Later onderzocht Joseph Louis Lagrange (1736-1813), die Euler veel bewonderde, ook dit soort integraal.

1782, Laplace

In 1782 begon LaPlace deze integralen te bestuderen als oplossingen voor differentiaalvergelijkingen en volgens historici besloot hij in 1785 het probleem te herformuleren, dat later de transformaties van Laplace gaf zoals ze vandaag worden begrepen.

Omdat het op het gebied van waarschijnlijkheidstheorie was geïntroduceerd, was het weinig belangstelling voor wetenschappers van het moment en werd het alleen gezien als een wiskundig object van theoretisch belang.

Zware Oliver

Het was in het midden van de nineteenth eeuw toen de Engelse ingenieur Oliver Heaviside ontdekte dat differentiële operators kunnen worden behandeld als algebraïsche variabelen, waardoor hun moderne toepassing op Laplace -transformaties werd gegeven.

Oliver Heaviside was een natuurkundige, Engelse elektrische en wiskundige ingenieur die in 1850 in Londen werd geboren en stierf in 1925. Terwijl het probeerde problemen op te lossen van differentiaalvergelijkingen die worden toegepast op de trillingstheorie en het gebruik van Laplace -studies, begon het de moderne toepassingen van LAPLA -transformaties vorm te geven.

De resultaten die worden blootgesteld door Heaviside verspreidden zich snel.

Het nut van het werk van Heaviside bij het oplossen van fysica -vergelijkingen zorgde er echter voor dat hun methoden populair waren tussen fysici en ingenieurs.

Ondanks deze tegenslagen en na een paar decennia van mislukte pogingen, zou het aan het begin van de 20e eeuw een rigoureuze rechtvaardiging kunnen krijgen op de operationele regels die zijn vastgesteld door Heaviside.

Deze pogingen hebben hun vruchten afgeworpen dankzij de inspanningen van verschillende wiskundigen, zoals Bromwich, Carson, van der Pol, onder andere.

Laplace Transform -eigenschappen

Onder de eigenschappen van de Laplace -transformatie valt het volgende op:

Lineariteit

Laat C1 en C2 constante en f (t) en g (t) functies waarvan de transformaties van laplace respectievelijk F (s) en G (s) zijn, dan moet het:

Vanwege deze eigenschap wordt gezegd dat Laplace Transform een ​​lineaire operator is.

Voorbeeld:

Eerste vertalingstelling

Als het dat gebeurt:

En 'a' is een reëel getal, dan:

Voorbeeld:

Zoals de Laplace de cos transform (2t) = s/(s^2 + 4) dan:

Tweede vertaling Stelling

Ja

Dus

Voorbeeld:

If f (t) = t^3, dan f (s) = 6/s^4. En daarom de transformatie van 

is g (s) = 6e^-2s/s^4

Schaalverandering

Ja

En 'a' is echt anders dan nul, we moeten

Voorbeeld:

Als de transformatie van f (t) = sen (t) is f (s) = 1/(s^2 + 1)

Kan u van dienst zijn: ontwikkelde notatie: wat is, voorbeelden en oefeningen

Laplace getransformeerd van derivaten

If f, f ', f ", ..., f^(N) Ze zijn continu voor t ≥ 0 en zijn exponentieel en f^(N)(t) is dan continu in delen voor t ≥ 0, dan

Integrale Laplace -transformatie

Ja

Dus

Vermenigvuldiging door t^N

Als we moeten

Dus

Divisie door T

Als we moeten

Dus

Periodieke functies

Laat f een periodieke functie zijn met periode t> 0, dat wil zeggen f (t +t) = f (t), dan

Gedrag van f (s) wanneer s neigt naar oneindig

Als F continu is in delen en van exponentiële volgorde en

Dus

Omgekeerd getransformeerd

Wanneer we de Laplace -transformatie toepassen op een functie F (t), verkrijgen we F (s), die de genoemde transformatie vertegenwoordigt. Op dezelfde manier kunnen we zeggen dat f (t) de transformatie is van de omgekeerde laplace van f (s) en is geschreven als

We weten dat de laplace -transformaties van f (t) = 1 en g (t) = t f (s) = 1/s en g (s) = 1/s zijn² respectievelijk, daarom moeten we

Sommige veel voorkomende Laplace -getransformeerd zijn de volgende

Bovendien is de omgekeerde laplace -transformatie lineair, dat wil zeggen, het is dat vervuld

Oefening

Vinden

Om deze oefening op te lossen, moeten we de functie F (s) matchen met een van de vorige tabel. In dit geval, als we n + 1 = 5 nemen en de lineariteitseigenschap van de omgekeerde transformatie gebruiken, vermenigvuldigen en delen we met 4! Het krijgen van

Voor de tweede inverse transformatie passen we gedeeltelijke breuken toe om de functie F (s) en vervolgens de eigenschap van de lineariteit te herschrijven,

Zoals we uit deze voorbeelden kunnen zien, is het gebruikelijk dat de geëvalueerde functie F (s) niet precies overeenkomt met de functies die in de tabel worden gegeven. Voor deze gevallen, zoals waargenomen, is het voldoende om de functie te herschrijven totdat deze de juiste vorm bereikt.

LAPLACE TRANSFORM TOEPASSINGEN

Differentiaalvergelijkingen

De belangrijkste toepassing die Laplace transformeert, is het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

Met behulp van de eigenschap van de transformatie van een derivaat is het duidelijk dat

En van de N-1 afgeleide geëvalueerd op t = 0.

Deze eigenschap maakt het getransformeerd.

De volgende voorbeelden laten zien hoe u de Laplace -transformatie kunt gebruiken om differentiaalvergelijkingen op te lossen.

voorbeeld 1

Gezien het volgende probleem met de initiële waarde

Gebruik de Laplace -transformatie om de oplossing te vinden.

We passen de Laplace -transformatie toe op elk lid van de differentiaalvergelijking

Voor de eigenschap van de transformatie van een afgeleide die we hebben

Bij het ontwikkelen van alle expressie en opruiming en (s) hebben we

Met behulp van gedeeltelijke breuken om de rechterkant van de vergelijking te herschrijven die we verkrijgen

Ten slotte is ons doel om een ​​functie te vinden en (t) die voldoet aan de differentiaalvergelijking. Met behulp van de inverse laplace -transformatie resulteert dit in

Voorbeeld 2

Oplossen

Net als in het vorige geval passen we de getransformeerde aan beide zijden van de vergelijking en afzonderlijke termijn toe.

Op deze manier hebben we daardoor

Vervangen door de gegeven en opruimen van de initiële waarden en (s)

Met behulp van eenvoudige breuken kunnen we herschrijven hoe de vergelijking volgt

En het toepassen van de omgekeerde transformatie van Laplace geeft ons daardoor

In deze voorbeelden kan de verkeerde conclusie worden getrokken dat deze methode niet veel beter is dan traditionele methoden om differentiaalvergelijkingen op te lossen.

Kan u van dienst zijn: proportie

De voordelen van de Laplace -transformatie is dat deze niet nodig is.

Bij het oplossen van initiële waardeproblemen met deze methode gebruiken we bovendien de beginvoorwaarden, dus het is niet nodig om andere berekeningen uit te voeren om de specifieke oplossing te vinden.

Differentiaalvergelijkingen systemen

Laplace -transformatie kan ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor gelijktijdige gewone differentiaalvergelijkingen, zoals weergegeven in het volgende voorbeeld.

Voorbeeld

Oplossen

Met de beginvoorwaarden x (0) = 8 e y (0) = 3.

Als we moeten

Dus

Oplossen geeft ons daardoor

En bij het toepassen van de omgekeerde transformatie van Laplace hebben we

Mechanica en elektrische circuits

Laplace -transformatie is van groot belang in de natuurkunde, heeft voornamelijk toepassingen voor mechanica en elektrische circuits.

Een eenvoudig elektrisch circuit bestaat uit de volgende elementen:

Elementen van een elektrisch circuit

Een schakelaar, een batterij of bron, een inductor, een weerstand en een condensator. Wanneer de schakelaar is gesloten, is een elektrische stroom die wordt aangegeven door i (t). De condensatorbelasting wordt aangegeven door Q (T).

Volgens de tweede wet van Kirchhoff moet de spanning die door de fute e naar het gesloten circuit wordt geproduceerd, gelijk zijn aan de som van elk van de spanningsvallen.

Elektrische stroom i (t) is gerelateerd aan laad Q (t) in de condensator via i = dq/dt. Aan de andere kant wordt de spanningsval in elk van de elementen als volgt gedefinieerd:

De spanningsval in een weerstand is IR = R (DQ/DT)

De spanningsval in een inductor is L (di/dt) = l (d²Q/DT²))

De spanningsval in een condensator is q/c

Met deze gegevens, en het toepassen van de tweede wet van Kirchhoff op het eenvoudige eenvoudige circuit, wordt een tweede -orde differentiaalvergelijking verkregen die het systeem beschrijft en ons in staat stelt de waarde van Q (t) te bepalen.

Voorbeeld

Een inductor, een condensator en weerstand zijn verbonden met een batterij E, zoals weergegeven in de figuur. De inductor is 2 Henries, de 0,02 Farads -condensator en de 16 ONHMIOS -weerstand. Op dit moment sluit t = 0 het circuit. Zoek de belasting en de stroom op elk moment t> 0 als e = 300 volt.

We hebben dat de differentiaalvergelijking die dit circuit beschrijft als volgt is:

Waarbij de beginvoorwaarden q (0) = 0 zijn, i (0) = 0 = q '(0).

Het toepassen van de Laplace -transformatie krijgen we dat

En het opruimen van Q (t)

Vervolgens hebben we de inverse Laplace -transformatie toepassen die we hebben

Referenties

1. G.Holbrook, J. (1987). Laplace -transformatie voor elektronica -ingenieurs. Limusa.
2. Ruiz, l. M., & Hernandez, m. P. (2006). Differentiële en getransformeerde vergelijkingen van Laplace met toepassingen. UPV -redactie.
3. Simmons, G. F. (1993). Differentiaalvergelijkingen met historische toepassingen en notities. McGraw-Hill.
4. Spiegel, m. R. (1991). Laplace getransformeerd. McGraw-Hill.
5. Zill, D. G., & Cullen, m. R. (2008). Differentiaalvergelijkingen met waarden van effecten in de grens. Cengage Learning Editores, s.NAAR.