Groene stelling, demonstratie, toepassingen en oefeningen

Hij Groene stelling Het is een berekeningsmethode die wordt gebruikt om lijnintegralen te relateren met dubbele oppervlakte- of oppervlakte -integralen. De betrokken functies moeten worden aangeduid als vector en gedefinieerde velden binnen traject C.

Een uitdrukking van een integrale lijn kan bijvoorbeeld zeer ingewikkeld zijn om op te lossen; Bij de implementatie van Green's stelling worden dubbele integralen echter vrij eenvoudig. Het is altijd belangrijk om de positieve betekenis van het traject te respecteren, dit verwijst naar de richting van de kloknaalden.

De stelling van Green is een bepaald geval van Stokes 'stelling, waar de projectie van de vectorfunctie wordt uitgevoerd in het XY -vlak.

[TOC]

Definitie

Green's uitdrukking van Green's stelling is als volgt:

In de eerste term wordt de lijnintegraal gedefinieerd door traject "C" waargenomen, van de productscalaire tussen de vectorfunctie "F" en die van de vector "r".

C: Het is het gedefinieerde traject waarop de vectorfunctie zal worden geprojecteerd zolang deze voor dat vlak wordt gedefinieerd.

F: vectorfunctie, waarbij elk van de componenten wordt gedefinieerd door een functie als zodanig (f, g).

A: Het is een vector die raakt naar de R -regio waarop de integrale is gedefinieerd. In dit geval wordt het bediend met een verschil van deze vector.

In de tweede termijn zien we Green ontwikkelde stelling, waarbij de dubbele integraal gedefinieerd in regio R van het verschil van gedeeltelijke derivaten van G en F wordt waargenomen, met betrekking tot X en en en respectievelijk. Voor een gebiedsverschil dat niets meer is dan het product van beide twee -dimensionale verschillen (DX.dy).

Deze stelling is perfect van toepassing op ruimte- en oppervlakte -integralen.

Demonstratie

Om de stelling van Green op een eenvoudige manier aan te tonen, wordt deze taak opgesplitst in 2 delen. Eerst gaan we ervan uit dat de vector F -functie alleen een definitie heeft in de Versor Je. Terwijl de "G" -functie die overeenkomt met de Versor J zal gelijk zijn aan nul.

Kan je van dienst zijn: hoeveel honderdsten passen in een tiende? (Voorbeelden)Auteur

F = f (x, y)Je + G (x, y)J = F (x, y)Je + 0

R = xJe + EnJ

DR = DXJe + DyJ

Eerst ontwikkelen we de lijnintegrale over trajector C, waarvoor het traject is gesectoriseerd in 2 secties die eerst gaan van A naar B en na B naar een.

De definitie van de fundamentele stelling van de berekening voor een gedefinieerde integrale wordt toegepast.

De uitdrukking wordt herschikt in een enkele integraal, wordt het negatieve gebruikelijk gemaakt en de volgorde van de factoren wordt omgekeerd.

Door deze uitdrukking in detail in te observeren, wordt het duidelijk dat bij het toepassen van de criteria van primitieve functie, deze in aanwezigheid van de integrale van de uitdrukking is afgeleid van F ten opzichte van en. Geëvalueerd in parameters

[En_1x , En_2x]

Nu is het voldoende om aan te nemen dat vectorplezierfunctie alleen is gedefinieerd voor g (x, y)J. Waar bij het werken op een manier die op het vorige geval wordt gehomologeerd, wordt deze verkregen:

Ten slotte worden de 2 demonstraties genomen en samenvoegen in het geval waarin de vectorfunctie waarden voor beide versoren neemt. Op deze manier wordt het weergegeven als de lijn integraal na het definiëren en worden beschouwd als een één -dimensionaal traject, het kan volledig worden ontwikkeld voor het vlak en de ruimte.

F = f (x, y)Je + G (x, y)J

Op deze manier wordt de stelling van Green aangetoond.

Toepassingen

Groene stellingstoepassingen zijn breed in de takken van fysica en wiskunde. Deze strekken zich uit tot elke toepassing of gebruik die kunnen worden gegeven aan lijnintegratie.

Het mechanische werk dat wordt uitgevoerd door een kracht F door een traject C, kan worden ontwikkeld door een lijnintegral die wordt uitgedrukt als een dubbele integrale van een gebied door Green's stelling.

Kan u van dienst zijn: Pentagonal Prism: Kenmerken, onderdelen, hoekpunten, randen, volume

De momenten van traagheid van vele lichamen die worden onderworpen aan externe krachten op verschillende toepassingspunten, reageren ook op ontwikkelbare integralen met de stelling van Green.

Dit heeft meerdere functionaliteiten in de weerstandsstudies van materialen die worden gebruikt. Waar externe waarden kunnen worden gekwantificeerd en in aanmerking kunnen worden genomen voorafgaand aan de uitwerking van verschillende elementen.

Over het algemeen vergemakkelijkt de stelling van Green het begrip en definitie van gebieden waar vectorfuncties worden gedefinieerd met betrekking tot een gebied volgens een traject.

Geschiedenis

Het werd in 1828 in het werk gepubliceerd Wiskundige analyse van theorieën over elektriciteit en magnetisme, Geschreven door de Britse wiskundige George Green. Het onderzoekt vrij beslissende secties bij de toepassing van berekening in de fysica, zoals het concept van potentieel, de functies van groen en de toepassingen van zijn autoschelling getiteld.

George Green formaliseerde zijn studentcarrière op 40 -jarige leeftijd, tot nu toe een volledig zelfgentende wiskundige wezen. Na studeren aan de Universiteit van Cambridge, gaat zijn onderzoek verder en levert hij bijdragen op het gebied van akoestiek, optica en hydrodynamica die nog steeds van kracht zijn.

Relatie met andere stellingen

De stelling van Green is een speciaal geval en komt voort uit 2 andere zeer belangrijke stellingen in de berekeningstak. Dit zijn de stelling van Kelvin-Stokes en de divergentie of Gausski-stelling.

Vanaf een van beide stellingen kun je de stelling van Green bereiken. Bepaalde definities en stellingen zijn nodig om deze demonstraties te ontwikkelen.

Opdrachten

- De volgende oefening laat zien hoe een lijnintegraal in een dubbele integraal te transformeren met betrekking tot een regio R.

De oorspronkelijke uitdrukking is als volgt:

Kan u van dienst zijn: hoeveel is x waard?

En moet worden geëvalueerd in het driehoekige gebied dat de punten (0, 0), (1, 0) verbindt, (0, 1) aangegeven door C. Voor dit geval zal de positieve betekenis van de beurt worden overwogen.

Waarbij de functies die overeenkomen met F en G worden gehaald

f (x, y) = x³                      g (x, y) = yx

df/dy = 0 dg/dx = y

Het is belangrijk om de functies te definiëren die de grenzen van regio C vormen, om het differentiaalproduct te kunnen samenstellen dat de regio volledig zal bedekken.

Er is geen unieke manier om integratielimieten te definiëren bij het toepassen van de stelling van Green. Maar er zijn vormen waar integralen na gedefinieerde eenvoudiger kunnen zijn. Op een zodanige manier dat de optimalisatie van integratiebeperkingen de aandacht verdient.

Voor dit geval wordt deze uitdrukking in overweging genomen:

Waar bij het oplossen van de integralen die we verkrijgen:

Deze waarde komt overeen in kubieke eenheden met het gebied onder de vectorfunctie en op het driehoekige gebied gedefinieerd door C.

In het geval van de lijnintegrale zonder de groene methode uit te voeren, zou het nodig zijn om de functies in elke sectie van de regio te parametreren. Dat wil zeggen, maak 3 geparametriseerde integralen voor resolutie. Dit is voldoende bewijs van de effectiviteit die Robert Green heeft bijgedragen met zijn stelling aan de berekening.

Referenties

1. Inleiding tot continummechanica. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 juli. 2009
2. Multivariabele calculus. James Stewart. Cengage Learning, 22 maart. 2011
3. Een informele geschiedenis van Green's stelling en bijbehorende ideeën. James Joseph Cross. Afdeling Wiskunde, Universiteit van Melbourne, 1975
4. Warmtegedrag met behulp van greensfuncties. Kevin D. Cole, James V. Beck, een. Haji-Sheikh, Bahman Luckouhi. Taylor & Francis, 16 juli. 2010
5. Toepassing van Green's stelling op de uitsluiting van lineaire integralen. Defensie Technical Information Center, 1961