Afleidingregels (met voorbeelden)

Wat zijn de afleidingregels?

De Derrying -regels Ze zijn de set van indicaties die moeten worden gevolgd om de gewone derivaat van een reële variabele functie f (x) te vinden.

De gewone derivaat van de functie f (x), aangeduid als f '(x), wordt geïnterpreteerd als de momentane wisselkoers van genoemde functie met betrekking tot variabele x. Grafisch is het afgeleide de helling van de raaklijn ten opzichte van de curve van f (x), berekend op een bepaald punt waarvan de coördinaat x is_of, Zoals weergegeven in de onderstaande figuur.

De afgeleide als de helling van de lijn die op een bepaald punt raakt tot f (x). Bron: Wikimedia anemos/gemodificeerd door F. Zapata.

Nu wordt de derivaat analytisch berekend door de volgende limiet:

Dus elke keer dat de afgeleide van een functie vereist is, moet de limiet worden geëvalueerd zoals aangegeven. Er zijn echter deratieregels, die gemakkelijk worden onthouden met een beetje praktijk en het werk van het berekenen van de limiet bewaren, die in sommige gevallen omslachtig is.

Wat zijn de afleidingregels?

De onderstaande afleidingregels worden gemakkelijk verkregen via de formele afgeleide definitie.

1. Onmiddellijke derivaten

Afgeleid van een constante

De afgeleide van een constante k is 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Voorbeeld

f (x) = 5, dan f '(5) = 0

Afgeleid van x

De afgeleide van f (x) = x is altijd 1, dat wil zeggen dat:

f (x) = x, vervolgens f '(x) = 1

2. Lineaire functie afgeleid

De lineaire functie heeft de vorm:

f (x) = bijl

Waar a een echt nummer is.

Zijn afgeleide is:

f '(x) = a

• Voorbeeld

Laat f (x) = 3x, dan:

f '(x) = 3

3. Afgeleid van een som

Als f (x) de som of aftrekking is van twee functies u en v, beide differentabel:

f (x) = u ± v

Dus:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Afgeleid van de gerelateerde functie

De gerelateerde functie is de som van twee termen:

Kan u van dienst zijn: gecombineerde bewerkingen

f (x) = ax + b

Waar a en b reële getallen zijn. De som van de som toepassen:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Maar:

(ax) '= a (regel 2)

(b) '= 0 (regel 1)

Daarom:

f '(x) = a

• Voorbeeld

De afgeleide van f (x) = −8x + 6 is:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Afgeleid van een kracht

Zaak 1

Laat f (x) een potentiële functie zijn van de vorm f (x) = x^N, Dus:

f (x) = x^N ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Voorbeeld

Wanneer afgeleid:

f (x) = x³

Resultaat:

f '(x) = 3⋅x³⁻¹ = 3x²

Case 2

Als de functie de vorm f (x) = ax heeft^N, Waar A een reëel getal is, komt het uit de afgeleide:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Voorbeeld

Afleiden:

f (x) = 4x⁵

Is verkregen:

f '(x) = 4 ∙ 5 x⁵⁻¹ = 20x⁴

Geval 3

Als de exponent fractioneel is, verloopt deze op dezelfde manier als deze werd uitgelegd in gevallen 1 en 2. Dit gebeurt wanneer variabele X wordt gevonden als een argument van een root.

• Voorbeeld

Wees de functie:

f (x) = 3x^3/2

De afgeleide is:

 Als u in de vorm van root wilt schrijven:

5. Product afgeleid

De productregel is van toepassing op product -vormige functies tussen twee U- en V -functies, beide onderscheidbaar:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Dat wil zeggen, de afgeleide van het product van twee functies is de afgeleide van de eerste, door de tweede zonder af te leiden, plus de eerste zonder af te leiden, vermenigvuldigd door de afgeleide van de tweede.

• Voorbeeld

Zoek, volgens de productregel en de hierboven beschreven regels, de afgeleide van:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

Het eerste is om te beslissen wie u en V zijn, onthouden dat de volgorde van de factoren het product niet verandert, ze kunnen op deze manier worden gekozen:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Vervolgens wordt de productregel verhoogd en worden de aangegeven derivaten opgelost, volgens de hierboven beschreven regels:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Kan u van dienst zijn: lineaire programmering: waar is het voor, modellen, beperkingen, toepassingen

Je moet:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Vervangen:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

De afgeleide is al klaar, maar de uitdrukking kan nog steeds een factor zijn:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Dit resultaat kan ook worden verkregen door eerder distributieve eigenschap toe te passen op het product (2x+3) (4x²−1) en vervolgens de regels gebruiken van 1 tot 4. Het wordt achtergelaten als oefening voor de lezer.

6. Afgeleid van het quotiënt

Een functie van vorm zijn:

Met voorwaarde V ≠ 0, en dat beide, U en V, onderscheidbaar zijn. In dit geval wordt het afgeleide ervan berekend door:

• Voorbeeld

Vind de afgeleide van:

Voor dit voorbeeld moet u:

• U = x+1
• v = x²

De verhouding van de quotiëntregel leidt tot:

Waarvoor het nodig is om het volgende te vervangen:

• (x+1) '= 1
• (X²) '= 2x
• (X²))² = x⁴

En bij het vervangen is het:

Het toepassen van distributieve eigenschap in de teller en het verminderen van termen, de uitdrukking voor f '(x) is:

De oefening had op een andere manier kunnen worden opgelost, F (x) herschrijven als:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

En vervolgens de productregel en wat algebra toepassen. Het wordt achtergelaten als oefening voor de lezer om te verifiëren dat het identiek resultaat is verkregen.

7. de kettingregel

Geldt voor samengestelde functies, vorm:

f = f (u)

Waar u = g (x)

Zijn afgeleide wordt als volgt uitgevoerd:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

A g '(x) staat bekend als de Interne derivaat. Het toepassen van de kettingregel is eenvoudiger dan op het eerste gezicht lijkt, zie dit voorbeeld:

• Voorbeeld

Door de kettingregel toe te passen, vindt u de afgeleide van:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Daarom, f (u) = u⁷ En het afgeleide ervan, volgens regel 4 is:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Dit resultaat wordt opgeslagen en de interne afgeleide g '(x) wordt berekend:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Hier is het noodzakelijk om de regels achtereenvolgens toe te passen: 3 (voor de som/aftrekking van functies), 4 (voor bevoegdheden) en 1 (voor de afgeleide van een constante).

Het kan u van dienst zijn: wachtrijtheorie: geschiedenis, model, waarvoor is het voor en voorbeelden voor

Is verkregen:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

De laatste stap is om de resultaten te vermenigvuldigen:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

En herschikken ten slotte de factoren:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Afgeleid van trigonometrische functies

De derivaten van trigonometrische functies zijn:

• Voorbeeld

Afleiden:

H (x) = sin (4x)

U = 4x doen en de kettingregel toepassen wordt verkregen:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Afgeleid van omgekeerde trigonometrische functies

Ze worden weergegeven in de volgende tabel:

• Voorbeeld

Afleiden:

g (x) = arct tg (-2x)

Houd altijd rekening met de kettingregel, u = -2x wordt gedaan en de afgeleide is:

10. Afgeleid van exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële functie

Als de basis nummer e is:

f (x) = e^X ⇒ f '(x) = e^X

Wanneer de basis een nummer A is:

f (x) = a^X ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^X

Logaritmische functie

Wanneer een Neperian Logaritm -functie is afgeleid:

f (x) = ln x

In het geval van een logaritme op een andere basis:

f (x) = logboek_naar X

• Voorbeeld

Afleiden:

H (x) = x ∙ lnx

elf. Impliciete afgeleide

Ze worden gebruikt wanneer de klaring van y (x) niet onmiddellijk is, daarom is er geen expliciete uitdrukking voor f (x), zoals in de vorige gevallen. Toch is het mogelijk om de afgeleide te vinden met de procedure die in het volgende voorbeeld wordt geïllustreerd:

• Voorbeeld

Leid impliciet de volgende uitdrukking af om te vinden en ':

4x³+11xy²−2y³ = 0

Zoals u kunt zien, is het niet eenvoudig om rechtstreeks te vinden en afhankelijk van X, dus om de gevraagde afgeleide te vinden, worden de beschreven regels toegepast, verwijzend aan beide zijden van gelijkheid:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (en²) '] - (2y³) '= 0 (somregel en productregel)

Het doel is om te wissen en ', wat de gevraagde afgeleide is, waarvoor de ketenregel wordt toegepast:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²en '= 12x² + 11 + 22xy ∙ en ' - 6y² ∙ en '= 0

en '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0