Sarrus -regel

Sarrus -regel. Bron: Gebruiker: Sevela.P, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons

Wat is de regel van Sarrus?

De Sarrus -regel Het is een techniek om determinanten van een vierkante matrix van 3 × 3 of groter te berekenen. Met dit systeem kan de oplossing gemakkelijker zijn. Het wordt ook gebruikt om te bepalen of vectorets lineair onafhankelijk zijn en de basis van de vectorruimte vormen.

Deze toepassingen zijn gebaseerd op de omkeerbaarheid van matrices. Als een matrix regelmatig is, is de bepalende factor anders dan 0. Als het enkelvoudig is, is de determinant de moeite waard. Determinanten kunnen alleen worden berekend in vierkante matrices.

Om matrices in elke volgorde te berekenen, kan de Laplace -stelling worden gebruikt. Met deze stelling kunnen we de matrices van hoge afmetingen vereenvoudigen, in sommen kleine determinanten die we afbreken van de hoofdmatrix.

Stelt dat de bepalende factor van een matrix gelijk is aan de som van de producten van elke lijn of kolom, door de determinant van de bijgevoegde matrix.

Dit vermindert de determinanten, zodat een bepalende factor van graad N determinanten wordt van N-1. Als we deze regel op een opeenvolgende manier toepassen, kunnen we determinanten verkrijgen van dimensie 2 (2 × 2) of 3 (3 × 3), waar de berekening ervan veel gemakkelijker is.

Sarrus -regel

Pierre Frederic Sarrus (1798-1861) was een Franse wiskundige. De meeste wiskundige verdragen zijn gebaseerd op methoden voor vergelijkingsresolutie en de berekening van variaties, binnen numerieke vergelijkingen.

In een van zijn verdragen loste hij een van de meest complexe enigma's van mechanica op. Om de problemen van gearticuleerde stukken op te lossen, introduceerde Sarrus de transformatie van alternatieve rechtlijnige bewegingen, in uniforme cirkelvormige bewegingen. Dit nieuwe systeem staat bekend als het Sarrus -mechanisme.

Het kan u van dienst zijn: externalisering en internalisatie van kosten

Het onderzoek dat hem het meest gaf, was het onderzoek waarin hij een nieuwe methode introduceerde voor het berekenen van determinanten, in het artikel "Nouvelles -methoden pour la résolution des Équitations" ("Nieuwe methode voor de resolutie van vergelijkingen"), gepubliceerd in 1833. Deze manier om lineaire vergelijkingen op te lossen, staat bekend als Sarrus -regel.

De Sarrus -regel maakt het mogelijk om de determinant van een 3 × 3 -matrix te berekenen, zonder de stelling van Laplace te gebruiken, een veel eenvoudiger en intuïtieve methode introduceren. 

Om de waarde van de Sarrus -regel te kunnen verifiëren, nemen we elke matrix van dimensie 3:

De berekening van zijn bepalende factor zou worden gemaakt door het product van zijn belangrijkste diagonalen, waardoor het product van de omgekeerde diagonalen wordt afgehaald. Dit zou als volgt zijn:

De Sarrus -regel stelt ons in staat om een ​​veel eenvoudiger zicht te verkrijgen bij het berekenen van de diagonalen van de determinant. Het zou worden vereenvoudigd door de eerste twee kolommen aan de achterkant van de matrix toe te voegen.

Op deze manier is het duidelijker over zijn belangrijkste diagonalen en die het inverse, voor de berekening van het product.

Via deze afbeelding kunnen we de toepassing van de Sarrus -regel zien, we nemen rij 1 en 2 op, onder de grafische weergave van de initiële matrix. Op deze manier zijn de belangrijkste diagonalen de drie diagonalen die in de eerste plaats verschijnen.

De drie omgekeerde diagonalen zijn op hun beurt die die eerst in de achterkant verschijnen.

Op deze manier verschijnen de diagonalen op een meer visuele manier, zonder de resolutie van de determinant te compliceren, proberen erachter te komen welke elementen van de matrix tot elke diagonaal behoren.

Kan u van dienst zijn: quechua -woorden vertaald in het Spaans

Zoals het in de afbeelding verschijnt, kiezen we de diagonalen en berekenen we het product dat voortvloeit uit elke functie. De diagonalen die in het blauw verschijnen, zijn die die optellen. Aan de som hiervan trekken we de waarde af van de diagonalen die in rood verschijnen.

Om compressie eenvoudiger te zijn, kunnen we een numeriek voorbeeld gebruiken, in plaats van algebraïsche termen en subtertermen te gebruiken.

Als we bijvoorbeeld een 3 × 3 -matrix nemen, bijvoorbeeld:

Om de Sarrus -regel toe te passen en op een meer visuele manier op te lossen, moeten we Row 1 en 2 opnemen, respectievelijk als rij 4 en 5. Het is belangrijk om rij 1 in de 4e positie te handhaven en rij 2 in de 5e. Omdat als we ze uitwisselen, zal de Sarrus -regel niet effectief zijn.

Om de determinant te berekenen, zou onze matrix als volgt zijn:

Om door te gaan met de berekening, zullen we de elementen van de belangrijkste diagonalen vermenigvuldigen. De afdalingen die ze aan de linkerkant beginnen, zal een positief teken dragen, terwijl de omgekeerde diagonalen, die aan de rechterkant beginnen, een negatief teken dragen.

In dit voorbeeld zou het blauw met een positief teken gaan en het rood met een negatief teken. De uiteindelijke berekening van de Sarrus -regel zou zo blijven:

Jongens van determinanten

Bepalende factor voor dimensie 1

Als de matrixdimensie 1 is, is de matrix op deze manier: a = (a)

Daarom zou de determinant als volgt zijn: Det (a) = | a | = a

Samengevat, de bepalende factor van matrix A is gelijk aan de absolute waarde van matrix A, die in dit geval een.

Dimensie determinant 2

Als we naar de matrices van dimensie 2 gaan, verkrijgen we matrices van het type:

Kan u van dienst zijn: taumaticgy

Waar de bepalende factor wordt gedefinieerd als:

De resolutie van deze determinant is gebaseerd op de vermenigvuldiging van zijn hoofddiagonaal, waardoor het product van zijn omgekeerde diagonaal wordt afgetrokken.

Bepalende factor voor dimensie 3

Als de matrixdimensie 3 is, zou de resulterende matrix van dit type zijn:

De bepalende factor van deze matrix zou op deze manier via de Sarrus -regel worden opgelost:

Referenties

1. Anthony Nicolaides (1994). Determinanten en matrices. Pass Publicatie.
2. M. Casteleiro Villalba (2004). Inleiding tot lineaire algebra. ESIC -redactie.