Archimedes Principle -formule, demonstratie, toepassingen

Hij Archimedes 'principe Hij zegt dat een volledig of gedeeltelijk ondergedompeld lichaam een ​​verticale kracht ontvangt genaamd duw, die gelijkwaardig is aan het gewicht van het volume vloeistof dat door het lichaam wordt verplaatst. 

Sommige objecten drijven in het water, anderen zinken en sommigen dompelen zich gedeeltelijk onder. Om een ​​strandbal te laten zinken, is het noodzakelijk om een ​​inspanning te leveren, omdat die kracht onmiddellijk wordt waargenomen die probeert deze naar de oppervlakte terug te brengen. In plaats daarvan zinkt een metalen bol snel. 

Aan de andere kant lijken ondergedompelde objecten lichter, daarom is er een kracht die wordt uitgeoefend door de vloeistof die tegen gewicht is. Maar je kunt helemaal niet altijd compenseren tot de zwaartekracht. En hoewel het duidelijker is met water, kunnen gassen deze kracht ook op de ondergedompelde objecten erin produceren.

[TOC]

Geschiedenis

Archimedes van Syracuse (287-212 a. C.) Het was degene die dit principe moet hebben ontdekt, een van de grootste wetenschappers in de geschiedenis. Ze zeggen dat King Hierón II van Syracuse een goudsmid heeft gestuurd om een ​​nieuwe kroon te produceren, waarvoor hij hem een ​​bepaalde hoeveelheid goud gaf.

Archimedes

Toen de koning de nieuwe kroon ontving, had hij het juiste gewicht, maar hij vermoedde dat de goudsmid hem had bedrogen door zilver toe te voegen in plaats van goud. Hoe kon ik het controleren zonder de kroon te vernietigen?

Hierón noemde Archimedes, wiens bekendheid van geleerde bekend was om hem te helpen het probleem op te lossen. De legende bevestigt dat Archimedes werd ondergedompeld in de badkuip toen hij het antwoord vond en, zo was zijn emotie, dat hij naakt door de straten van Syracuse rende om te zoeken naar de koning die "Eureka" schreeuwde, wat betekent "ik vond het".

https: // giphy.com/gifs/stito3echtlnbvliz3

Wat vond Archimedes? Welnu, bij het nemen van een badkamer in de badkuip, wanneer hij binnenkwam, wat betekent dat een ondergedompelde lichaam een ​​bepaald volume vloeistof verplaatst.

En als ik de kroon in water onderdompelde, moest het ook een bepaald volume water verplaatsen als de kroon van goud was gemaakt en een andere als deze werd gemaakt van legering met zilver.

Archimedes Principle -formule

De promotionele kracht waarnaar wordt verwezen in het Archimedes -principe staat bekend als duw hydrostatisch of flotatiekracht En, zoals we hebben gezegd, is het gelijk aan het gewicht van het volume vloeistof dat door het lichaam wordt verplaatst wanneer het wordt ondergedompeld.

Het verplaatste volume is gelijk aan het volume van het object dat is ondergedompeld, volledig of gedeeltelijk. Omdat het gewicht van iets is mg, En de massa van de vloeistof is Dichtheid x Volume, Weigeren hoe B tot de omvang van de stuwkracht, wiskundig moet het:

B = m_vloeiend x g = vloeistofdichtheid x ondergedompeld volume x zwaartekracht

B = ρ_vloeiend X V_{ondergedompeld} X G

Waar de Griekse letter ρ ("rho") de dichtheid aangeeft.

Het schijnbare gewicht

Het gewicht van de objecten wordt berekend door de goed bekende uitdrukking mg, Dingen voelen echter lichter aan wanneer ze in het water worden ondergedompeld. 

Hij schijnbaar gewicht van een object is wat heeft wanneer het wordt ondergedompeld in water of andere vloeistof en het weet, kunt u het volume van een onregelmatig object verkrijgen zoals de kroon van de koning -hierón, zoals hieronder zal worden gezien.

Kan u van dienst zijn: 13 voorbeelden van de eerste wet van Newton in het echte leven

Om dit te doen, is het volledig ondergedompeld in water en onderworpen aan een touw bevestigd aan een dynamometer -Een instrument voorzien van een veer die dient om krachten te meten-. Hoe groter het gewicht van het object, hoe groter de verlenging van de veer, die wordt gemeten op een schaal die in het apparaat is aangeboden.

Schijnbaar gewicht van een ondergedompeld object. Bron: voorbereid door F. Zapata.

De tweede wet van Newton toepassen wetende dat het object in rust is:

Σf_En = B + t - w = 0

Het schijnbare gewicht w_naar Het is gelijk aan spanning op het touw:

T = W_naar

W_naar = mg - ρ_vloeiend . V. G

Als het ondergedompelde deel V vereist is, wordt het gewist als:

V = (w - w_naar ) / ρ_vloeiend  . G

Demonstratie

https: // giphy.com/gifs/mcphppgtnpbhl4cgaq

Wanneer een lichaam onderdompelt, is de stuwkracht de kracht die het gevolg is van alle krachten die op het lichaam worden uitgeoefend door de druk veroorzaakt door de omliggende vloeistof:

Vrij lichaamsdiagram van een ondergedompeld object. Bron: voorbereid door F. Zapata.

Druk en diepte

Omdat de druk toeneemt met de diepte, is het resultaat van deze krachten altijd verticaal naar boven gericht. Daarom is het Archimedes -principe een gevolg van de fundamentele stelling van de hydrostatische, die de druk P relert heeft die wordt uitgeoefend door een vloeistof met de diepte Z als:

P = ρ.G.Z

Krachten op een statisch evenwichtsvloeistof

Om het Archimedes -principe aan te tonen, wordt een klein cilindrisch rustgedeelte in rust genomen om de uitgeoefende krachten te analyseren, zoals weergegeven in de volgende figuur. De krachten op het gebogen oppervlak van de cilinder worden met elkaar geannuleerd. 

Een deel van vloeistof in evenwicht. Bron: voorbereid door F. Zapata.

De magnitudes van de verticale krachten zijn F₁ = P₁.Een en F₂ = P2.A, er is het gewicht W. Omdat de vloeistof in evenwicht is, moet de som van de krachten worden geannuleerd:

∑f_En = P₂.A- p₁.A- W = 0

P₂.A- p₁.A = W

Omdat de stuwkracht compenseert naar gewicht, omdat het vloeistofgedeelte in rust is, dan:

B = P₂.A- p₁.A = W

Uit deze uitdrukking volgt dat de stuwkracht te wijten is aan het verschil in druk tussen het bovenvlak van de cilinder en de onderste. Als W = mg = ρvloeiend. V. G, Je moet:

B = ρ_vloeiend. V_{ondergedompeld}. G

Dat is precies de uitdrukking voor de stuwkracht die in de vorige sectie wordt genoemd.

Archimedes Principle -toepassingen

Ballonnen die drijven: Archimedes Principle in actie

Het Archimedes -principe verschijnt in veel praktische toepassingen, waaronder we kunnen noemen:

- De aerostatische ballon. Die door een gemiddelde dichtheid minder te hebben dan die van de omliggende lucht, erin drijft vanwege de stuwkracht.

- De schepen. De helm van het schip is zwaarder dan water. Maar als de romp wordt overwogen plus de lucht binnenin, is het quotiënt tussen de totale massa en het volume minder dan dat van het water en dat is de reden waarom de schepen drijven.

- Het leven vest. Wanneer gebouwd van lichte en poreuze materialen, kunnen ze drijven omdat de massafolumeverhouding minder is dan die van water.

- De drijvende om de vullende kraan van een watertank te sluiten. Het is een bol vol met grote volume lucht die over het water zweeft, wat de stuwkrachtkracht veroorzaakt - vermenigvuldigd door het hendeleffect - sluit de dop van de vullende kraan van een watertank wanneer deze het niveau heeft bereikt.

Het kan u van dienst zijn: unidimensionale golven: wiskundige expressie en voorbeelden

Voorbeelden

voorbeeld 1

De legende vertelt dat King Hierón de goudsmid een bepaalde hoeveelheid goud gaf om een ​​kroon te maken, maar de wantrouwende monarch dacht dat de goudsmid had kunnen bedrogen bij het plaatsen van een minder waardevol metaal in de kroon dan de kroon dan de kroon dan de kroon. Maar hoe kon ik het weten zonder de kroon te vernietigen? 

De koning heeft Archimedes opdracht gegeven en dit, op zoek naar de oplossing, ontdekte zijn beroemde principe.

Stel dat de kroon 2,10 kg-F in de lucht weegt en 1,95 kg-F wanneer volledig ondergedompeld in water. In dit geval is er geen misleiding?

King Herons kroonvrije lichaamsdiagram. Bron: voorbereid door F. Zapata

Het krachtenschema wordt getoond in de vorige figuur. Deze krachten zijn: het gewicht P van de kroon, de stuwkracht EN en de spanning T van het touw dat aan de schaal hangt.

P = 2,10 kg-F en t = 1,95 kg-F is bekend, het is noodzakelijk om de grootte van de stuwkracht te bepalen EN:

T + e = p ⇒ e = p - t = (2.10 - 1,95) kg -f = 0,15 kg -f

Aan de andere kant is de stuwkracht volgens het Archimedes -principe gelijk aan het gewicht van het uitgezet water van de ruimte die door de kroon wordt bezet, dat wil zeggen de dichtheid van het water door het volume van de kroon vanwege de versnelling van de zwaartekracht :

E = ρ_water⋅V⋅G = 1000 kg/m^3 ⋅ V ⋅ 9,8m/s^2 = 0,15 kg ⋅ 9,8 m/s^2

Waar het kroonvolume kan worden berekend:

V = 0,15 kg / 1000 kg / m^3 = 0,00015 m^3

De dichtheid van de kroon is het quotiënt tussen de massa van de kroon uit het water en het volume ervan:

Kroondichtheid = 2,10 kg / 0,00015 m^3 = 14000 kg / m^3

De dichtheid van zuiver goud kan worden bepaald door een vergelijkbare procedure en het resultaat is 19300 kg/m^3.

Het vergelijken van de twee dichtheden is het duidelijk dat de kroon geen puur goud is! 

Voorbeeld 2 

Op basis van de gegevens en het resultaat van voorbeeld 1 is het mogelijk om te bepalen hoeveel goud is gestolen door de goudsmid in het geval dat een deel van het goud is vervangen door zilver, dat een dichtheid heeft van 10500 kg/m^3 3 3 3 3.

We zullen ρc bellen tot de dichtheid van de kroon, ρo tot de dichtheid van goud en ρ_P tot de dichtheid van zilver.

De totale massa van de kroon is:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ_P⋅vp

Het totale volume van de kroon is het volume zilver plus het volume goud:

V = vo + vp ⇒ vp = v - vo

Vervangen in de massavergelijking:

ρc⋅v = ρo⋅vo + ρ_P⋅ (v - vo) ⇒ (ρo - ρ_P) Vo = (ρc - ρ_P) V

Dat wil zeggen dat het goudvolume dat de kroon van het totale deel V bevat, is:

Vo = v⋅ (ρc - ρ_P)/(ρo - ρ_P) =…

… = 0,00015 m^3 (14000 - 10500)/(19300 - 10500) = 0.0000596 M^3

Om het gewicht in goud te kennen dat de kroon bevat, vermenigvuldigen we VO voor de dichtheid van goud:

Kan u van dienst zijn: rechterhandregel

Mo = 19300 *0.00005966 = 1.1514 kg

Omdat de massa van de kroon 2,10 kg is, weten we dat 0,94858 kg goud werd gestolen door de goudsmid en vervangen door zilver.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Een enorme heliumballon kan in evenwicht blijven (zonder omhoog of af te dalen) naar een persoon.

Neem aan dat het gewicht van de persoon, plus de mand, snaren en ballon is 70 kg. Wat is het volume helium dat nodig is om dit te laten gebeuren? Welke maat heeft de ballon?

Oplossing

We zullen aannemen dat de stuwkracht voornamelijk wordt geproduceerd door het volume van helium en dat de stuwkracht van de rest van de componenten erg klein is in vergelijking met die van het helium dat veel meer volume bezet.

In dit geval is een heliumvolume vereist in staat om een ​​gewicht van 70 kg + te leveren.

Vrij lichaam Fdiaogram vol helium. Bron: voorbereid door F. Zapata.

De stuwkracht is het product van heliumvolume vanwege de dichtheid van het helium vanwege de versnelling van de zwaartekracht. Die stuwkracht moet het gewicht van het helium plus het gewicht van de rest compenseren.

Da⋅V⋅G = Da⋅V⋅G + M⋅G

waar het concludeert dat v = m / (da - dh)

V = 70 kg / (1.25 - 0,18) kg/m^3 = 65.4 m^3

Dat wil zeggen, 65 zijn vereist.4 m^3 van helium bij atmosferische druk voor ondersteuning.

Als we een bolvormige ballon aannemen, kunnen we de straal van hetzelfde vinden vanuit de relatie tussen het volume en de straal van een bol:

V = (4/3) ⋅π⋅r^3

Waar r = 2,49 m. Met andere woorden, een diameter van 5 m vol helium is vereist.

Oefening 2

Lagere dichtheidsmaterialen die water in hetzelfde drijven. Neem aan dat je polystyreenblokjes (witte kurk), hout en ijs hebt. Zijn dichtheden in kg per kubieke meter zijn respectievelijk: 20, 450 en 915.

Vind wat een fractie van het totale volume uit het water is en welke hoogte valt op ten opzichte van het oppervlak van het water dat als dichtheid van de laatste 1000 kilogram per kubieke meter wordt gebruikt.

Oplossing 

Floatabiliteit treedt op wanneer het lichaamsgewicht gelijk is aan de stuwkracht als gevolg van water:

E = m⋅G

Vrij lichaamsdiagram van een gedeeltelijk ondergedompeld object. Bron: voorbereid door F. Zapata.

Gewicht is de lichaamsdichtheid DC vermenigvuldigd met zijn volume V en door de versnelling van de zwaartekracht G.

De stuwkracht is het gewicht van de verplaatste vloeistof volgens het Archimedes -principe en wordt berekend door de dichtheid D van het water te vermenigvuldigen met het ondergedompelde volume V 'en door de versnelling van de zwaartekracht.

Dat is:

D⋅v'⋅G = DC⋅V⋅G

Wat betekent dat de ondergedompelde volumefractie gelijk is aan het quotiënt tussen lichaamsdichtheid en waterdichtheid.

(V '/v) = (dc/d) 

Dat wil zeggen dat de uitstekende volumefractie (v "/v) is

(V "/v) = 1 - (dc/d)

Ja H Het is de uitstekende hoogte en L De kubuszijde De volumefractie kan worden geschreven als

(H⋅l^2)/(L^3) = H/L, Met andere woorden, de uitstekende hoogtefractie is ook

(h/l) = 1 - (dc/d)

Dan zijn de resultaten voor de gevraagde materialen:

Polystyreen (witte kurk):

(H/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (20/1000) = 98% uit het water

Hout:

(h/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (450/1000) = 55% uit het water

Ijs:

(h/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (915/1000) = 8.5% uit het water

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Fysica voor engineering en wetenschappen. Deel 1. MC Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011.Vloeistofmechanica. Fundamentals en toepassingen. Eerste editie. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 4. Vloeistoffen en thermodynamica. Uitgegeven door Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, r. 2010. Vloeibare en hydraulische mechanica. McGraw Hill. 
5. Rex, a. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 239-263.
6. Tippens, p. 2011. Fysica: concepten en toepassingen. 7e editie. McGraw Hill.