Perfecte cijfers hoe ze te identificeren en voorbeelden

A Perfect nummer is een natuurlijk nummer zodanig dat De som van zijn delers is hetzelfde als het nummer. Het kan duidelijk niet worden opgenomen tussen de divisoren van het nummer zelf.

Een van de eenvoudigste voorbeelden van perfect aantal is 6, omdat de divisors zijn: 1, 2 en 3. Als we de delers toevoegen, wordt deze verkregen: 1 + 2 + 3 = 6.

Figuur 1. Het nummer 6 is perfect, omdat de som van zijn delers, exclusief het nummer zelf, nummer 6 geeft. Bron: zelf gemaakt

De som van de divisors van een geheel getal, exclusief het getal zelf, wordt genoemd een groot aantal. Daarom is een perfect aantal gelijk aan zijn hoeveelheid.

Maar als in de som van divisors van een getal het nummer zelf is opgenomen, dan zal een perfect getal er een zijn dat de som van al zijn divisors gedeeld door 2 gelijk is aan het getal zelf.

[TOC]

Geschiedenis

De wiskundigen van de oudheid, met name de Grieken, gaven veel belang aan de perfecte cijfers en toegeschreven goddelijke kwaliteiten.

Philo de Alejandría bijvoorbeeld, rond de 1e eeuw, beweerde dat 6 en 28 perfecte cijfers zijn die samenvallen met de zes dagen van de schepping van de wereld en de twintig dagen die de maan nodig heeft om de aarde om te draaien.

De perfecte cijfers zijn ook aanwezig in de natuur, bijvoorbeeld in de noordelijke pool van Saturnus verschijnt ook het perfecte nummer 6, een zeshoekige draaikolk van de Cassini -sonde en dat is geïntrigeerd aan wetenschappers. 

De bijen honingraat hebben cellen in zeshoekige vorm, dat wil zeggen met 6 zijden.  Er wordt aangetoond dat de polygoon met het perfecte nummer 6 degene is die het aantal cellen in de bijen bijen mogelijk maakt, met de minimale was voor zijn uitwerking.

Figuur 2. Het perfecte nummer 6 is aanwezig in bijen honingraten. Het is aangetoond dat met dit aantal zijden de hoeveelheid was die moet worden gebruikt om de cellen te vormen minimaal is. Bron: Pixabay.

Perfecte nummers eigenschappen

De som van alle delers van een natuurlijk getal n wordt aangegeven door σ (n). In een perfect getal is het waar dat: σ (n) = 2n.

Euclid -formule en criteria

Euclid ontdekte een formule en een criterium waarmee u de perfecte cijfers kunt vinden. Deze formule is:

2^(N-1) (2^N -1)

Het door de formule gegenereerde nummer zal echter alleen perfect zijn als de factor (2^N -1) Wees neef.

Kan u van dienst zijn: rechthoekige componenten van een vector (met oefeningen)

Laten we eens kijken hoe de eerste perfecte cijfers worden gegenereerd:

Als n = 2, hebben we 2¹ (2² - 1) = 2 x 3 = 6 dat we al zagen dat het perfect is.

Wanneer n = 3 heb je 2² (2³ - 1) = 4 x 7 = 28 die ook perfect is omdat het in detail in voorbeeld 1 wordt geverifieerd.

Laten we eens kijken wat er gebeurt met n = 4. Door in de Euclid -formule te vervangen, hebben we:

2³ (2⁴ - 1) = 8 x 15 = 120

Het kan worden geverifieerd dat dit nummer niet perfect is, zoals in detail weergegeven in voorbeeld 3. Dit is niet in tegenspraak met de Euclid -criteria, omdat 15 geen neef is, een noodzakelijke vereiste voor het resultaat om een ​​perfect aantal te zijn.

Laten we eens kijken wat er gebeurt als n = 5. De formule toepassen die we hebben:

2⁴ (2⁵ - 1) = 16 x 31 = 496

Aangezien 31 een priemgetal is, moet nummer 496 perfect zijn, volgens Euclid -criteria. In voorbeeld 4 wordt in detail aangetoond dat het effectief is.

De priemgetallen die formulier 2 hebben^P - 1 Ze worden neven van Mersenne genoemd, ter ere van de Monk Marin Mersenne, die de priemgetallen en de perfecte cijfers in de zeventiende eeuw bestudeerde.

Vervolgens toonde in de achttiende eeuw Leonhard Euler aan dat al het perfecte aantal gegenereerd door de Euclid -formule paren zijn.

Tot op heden is er een perfect gevonden dat vreemd is.

Het grootste perfecte aantal bekend

Tot de huidige datum zijn 51 perfecte cijfers bekend, allemaal gegenereerd door de formule- en Euclid -criteria. Dit aantal werd verkregen zodra de neef van Mersenne werd gevonden, dat is: (2^82589933 - 1).

Het perfecte nummer #51 is (2^82589933) X (2^82589933 - 1) en heeft 49724095 digitos.

Een perfect aantal is vriend van jezelf

In getallen theorie wordt gezegd dat twee getallen vrienden zijn wanneer de som van de divisors van de ene, exclusief het getal zelf, gelijk is aan het andere nummer en vice versa.

Het kan u van dienst zijn: lijn- en semi -river -segment

De lezer kan verifiëren dat de som van de divisors van 220, exclusief de 220. Aan de andere kant is de som van de delers van 284, exclusief 284, gelijk aan 220. Daarom zijn de cijfers paar 220 en 284 vrienden.

Vanuit dit oogpunt is een perfect aantal vriend van jezelf.

Voorbeelden van perfecte cijfers

Vervolgens worden de eerste acht perfecte nummers vermeld:

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Opdrachten

In de volgende oefeningen is het nodig om de divisors van een getal te berekenen en vervolgens de som van hen te maken en te verifiëren of het nummer een perfect getal is of niet.

Daarom zullen we voordat we de oefeningen aanpakken, het concept beoordelen en laten zien hoe ze worden berekend.

Om te beginnen moet u onthouden dat de cijfers neven kunnen zijn (wanneer ze alleen kunnen worden onderverdeeld in exact met zichzelf en 1) of verbindingen (wanneer ze kunnen ontleden als een product van priemgetallen).

Voor een samengesteld nummer n heb je:

N = a^N . B^M. C^P … R^k 

Waar a, b, c ... r priemgetallen zijn en n, m, p ... k zijn exponenten die behoren tot natuurlijke nummers, die vanaf 1 waard kunnen zijn.

In termen van deze exponenten is er een formule om te weten hoeveel divisors het nummer n heeft, hoewel het ons niet vertelt wat deze zijn. Laat C dit bedrag zijn, dan:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

De ontleding van nummer N als een product van priemgetallen en de kennis van hoeveel divisors, zowel neven als niet -neven, zal ons helpen bepalen wat deze divisoren zijn.

Zodra iedereen heeft, behalve de laatste die niet vereist is in de som, kan het worden geverifieerd of het een perfect aantal is of niet.

- Oefening 1

Controleer of nummer 28 perfect is.

Oplossing

De eerste zal zijn om het aantal in zijn topfactoren te ontbinden.

28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1

De divisors zijn: 1, 2, 4, 7, 14 en 28. Als we op 28 uitsluiten, geeft de som van de delers:

Kan u van dienst zijn: de helft van 15

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Daarom is de 28 een perfect aantal.

Bovendien is de som van al zijn delers 28 + 28, dus de regel σ (28) = 2 x 28.

- Oefening 2

Bepaal of nummer 38 perfect is of niet.

Oplossing

Het aantal is opgesplitst in zijn belangrijkste factoren:

39 | 3
13 | 13
01 | 1

De divisors van 39 zonder het nummer zelf op te nemen zijn: 1, 3 en 13. Som 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 is niet gelijk aan 39, daarom is 39 een imperfect of niet-perfectienummer. 

- Oefening 3

Ontdek of het nummer 120 perfect of onvolmaakt is.

Oplossing

Het aantal is opgesplitst in zijn belangrijkste factoren:

120 | 2
060 | 2
 30 | 2
 15 | 3
  5 | 5
  1 | 1

Uit de belangrijkste factoren worden de divisors gevonden:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 en 120

Als 120 perfect waren wanneer het toevoegen van al zijn divisors moet worden verkregen 2 x 120 = 240. 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Dit resultaat is duidelijk anders dan 240, dus wordt geconcludeerd dat nummer 120 geen perfect aantal is.

- Oefening 4

Controleer of het nummer 496, verkregen door de Euclid -criteria, een perfect aantal is.

Oplossing

Het nummer 496 is opgesplitst in zijn belangrijkste factoren:

496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1

Dan zijn hun delers:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

Nu worden ze allemaal toegevoegd, behalve 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Bevestigen dat het inderdaad een perfect aantal is.

Referenties

1. Baldor, een. 1986. Rekenkundig. Codex -edities en distributies.
2. Alles over priemgetallen. Vrienden nummers. Hersteld van: verpleegster.borg.
3. Wolfram Mathworld. Eulers regel. Hersteld van: Mathworld.Wolfraam.com.
4. Wolfram Mathworld. Perfect nummer. Hersteld van: Mathworld.Wolfraam.com.
5. Wikipedia. Perfecte cijfers. Opgehaald uit: in.Wikipedia.borg.
6. Wikipedia. Vrienden nummers. Hersteld van: is.Wikipedia.borg.