Vrienden of vriendelijke voorbeelden en hoe u ze kunt vinden

De Vrienden of vriendelijke nummers Er zijn twee natuurlijke getallen A en B wiens som van de divisors van een van hen (niet opgenomen het getal) gelijk is aan het andere getal, en de som van de divisors van deze andere (ook niet opgenomen) is gelijk aan de eerste probleem.

Veel paren van getallen die deze nieuwsgierige eigenschap delen, zijn gevonden. Het zijn niet al te kleine aantallen, minderjarigen zijn 220 en 284, enkele eeuwen geleden ontdekt. Dus laten we ze geven als een voorbeeld van wat deze eigenaardige vriendschap tussen getallen betekent.

Figuur 1. De paar vrienden 220 en 284 waren al eeuwen bekend. Bron: Pixabay.

De divisors van 220, exclusief 220, zijn: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 en 110. Aan de andere kant zijn de delers van 284, exclusief 284: 1, 2, 4, 71 en 142.

Nu voegen we de delers van het eerste nummer toe, dat is 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

We zien dat de som in feite 284 is, de nummervriend.

Vervolgens worden de divisors van 284 toegevoegd:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

En het eerste lid van het paar wordt verkregen.

De oude Griekse wiskundigen van de Pythagorische school, opgericht door Pythagoras (569-475 tot.C.), De auteur van de beroemde stelling met dezelfde naam, slaagde erin deze bijzondere relatie tussen deze twee getallen te ontdekken, waaraan veel mystieke kwaliteiten werden toegeschreven.

Ze waren ook bekend bij de islamitische wiskundigen van de middeleeuwen, die erin slaagden een algemene formule te bepalen om vrienden te vinden over de jaren 850 van onze tijdperk.

[TOC]

Formule voor het vinden van vrienden

De islamitische wiskundige thabit ibn Qurra (826-901) vond een manier om enkele vriendennummers te genereren. Sean P, Q En R Drie priemgetallen, dat wil zeggen cijfers die alleen tot 1 en zichzelf toelaten als divisors.

Bij het vervullen van het volgende:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2^N - 1

Kan u van dienst zijn: Corollary (geometrie)

R = 9.2^2N-1 - 1

Met N een getal groter dan 1, dan:

A = 2^NPQ en B = 2^NR 

Vergelijk een paar vrienden. We gaan de formule proberen voor n = 2 en zien welke paar vrienden nummers genereert:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Dus:

A = 2^NPQ = 2². 5. 11 = 220

B = 2^NR = 2². 71 = 284

De formule van de middeleeuwse wiskundige.

De stelling werkt echter niet voor alle tot nu toe gevonden vrienden, alleen voor n = 2, n = 4 en n = 7.

Eeuwen later leidde de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783) een nieuwe regel af om vriendelijke nummers te vinden, gebaseerd op die van Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-M + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-M + 1). 2^N - 1

R = (2^N-M + 1)². 2^M+N  - 1

Zoals altijd zijn de cijfers P, Q en R neven, maar nu zijn er twee volledige exponenten: M en N, waarvan M moet voldoen aan de volgende voorwaarde:

1 ≤ m ≤ n-1

Het vriendenpaar wordt op dezelfde manier gevormd:

A = 2^Npq 

B = 2^NR 

Als m = n-1 opnieuw wordt verkregen, de stelling van Thabit, maar zoals het geval is met de islamitische wiskundige stelling, voldoen niet alle vriendelijke nummers aan de Euler-regel. Daarmee nam echter de hoeveelheid vriendelijke getallen die bekend zijn tot dan toe toegenomen.

Hier zijn de eerste paren exponenten (M, N) waarmee enkele vriendelijke nummers kunnen worden gevonden:

(1,2), (3,4), (6.7), (1.8) en (29.40)

Later, in het oefeningsgedeelte, zullen we de paar vriendelijke nummers vinden die vormen dankzij de exponenten (3,4) van de Euler -regel.

Voorbeelden van nummers van vrienden

-220 en 284

Kan u van dienst zijn: willekeurig experiment: concept, voorbeeldruimte, voorbeelden

-1184 en 1210

-2620 en 2924

-5020 en 5564

-6232 en 6368

-10.744 en 10.856

-12.285 en 14.595

-17.296 en 18.416

Natuurlijk kunnen veel meer paren van vriendelijke nummers worden gegenereerd door computer.

Hoe u een nummer kunt afbreken en uw delers kunt vinden

Laten we nu eens kijken hoe u de delers van een nummer kunt vinden, om te bevestigen of ze vrienden zijn. Volgens de definitie van vriendelijke getallen zijn alle divisoren van elke deelnemer nodig om ze toe te voegen, behalve de cijfers zelf.

Nu kunnen natuurlijke getallen worden onderverdeeld in twee groepen: priemgetallen en samengestelde nummers.

Primo -getallen geven alleen als exacte divisors toe aan 1 en zichzelf. En de cijfers die door hun kant zijn samengesteld, kunnen altijd worden uitgedrukt als het product van priemgetallen en andere delers hebben, afgezien van 1 en van zichzelf.

Een elk samengesteld nummer, als 220 of 284, kan op deze manier worden uitgedrukt:

N = a^N . B^M. C^P… R^k

Waar a, b, c ... r priemgetallen zijn en n, m, p ... k zijn exponenten die behoren tot natuurlijke nummers, die vanaf 1 waard kunnen zijn.

In termen van deze exponenten is er een formule om te weten hoeveel (maar niet welke) divisors het nummer n hebben. Laat C dit bedrag zijn:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Zodra het nummer N wordt uitgedrukt in termen van priemgetallenproducten en het is bekend hoeveel delers hebben, heb je al de tools om te weten wat hun divisors zijn, zowel neven als niet. En het is noodzakelijk om ze allemaal te ontmoeten om te controleren of ze vrienden zijn, behalve de laatste, wat het nummer zelf is.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Vind alle delers van de paar vrienden 220 en 284.

Oplossing

Eerst zullen we de prime divisors van 220 vinden, wat een samengesteld nummer is:

Kan u van dienst zijn: punctuele schatting

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

De ontleding in topfactoren van 220 is:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. elf

Daarom n = 2, m = 1, p = 1 en bezit:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 divisores

De eerste delers die worden gewaarschuwd voor de ontleding van het aantal zijn: 1, 2, 4, 5 En elf. En dat zijn ze ook 110 En 55.

5 van hen zouden ontbreken, die producten maken tussen neven en nichten en hun combinaties: 2².5 = twintig;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 en ten slotte de 1 en de zijne 220.

Een analoge procedure voor 284 wordt gevolgd:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 divisors

Deze divisors zijn: 1, 2, 4, 71, 142 en 284, zoals in het begin vermeld.

Figuur 2. Met de beschreven methode kunnen deze paren worden geanalyseerd om te verifiëren dat ze vrienden zijn. Bron: f. Zapata.

- Oefening 2

Controleer de Euler -formule voor n = 4 en m = 3 genereert de lijst met priemgetallen (p, q, r) = (23,47, 1151). Wat zijn de paar vrienden die met hen zijn gevormd??

Oplossing

Priemgetallen P, Q en R worden berekend door:

P = (2^N-M + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-M + 1). 2^N - 1

R = (2^N-M + 1)². 2^M+N  - 1

Het vervangen van de waarden van M = 3 en N = 4 wordt verkregen:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Nu wordt de formule toegepast om de paar vrienden nummers A en B te vinden:

A = 2^Npq 

B = 2^NR 

A = 2^NPQ = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2^NR = 16. 1151 = 18.416

En inderdaad, ze behoren tot de lijst van de eerste paren van vriendennummers die we eerder laten zien.

Referenties

1. Baldor, een. 1986. Rekenkundig. Codex -edities en distributies.
2. Alles over priemgetallen. Vrienden nummers. Hersteld van: verpleegster.borg.
3. Wolfram Mathworld. Eulers regel. Hersteld van: Mathworld.Wolfraam.com.
4. Wikipedia. Vriendschappelijke cijfers. Opgehaald uit: in.Wikipedia.borg.
5. Wikipedia. Vrienden nummers. Hersteld van: is.Wikipedia.borg.