Wiskunde

Gedeeltelijke fracties

$Gedeeltelijke fracties$

883
79
Hugo Crooks

De ontledingsmethode in gedeeltelijke breuken wordt gebruikt om integralen op te lossen. Bron: f. Zapata.

Wat zijn gedeeltelijke breuken?

De methode van gedeeltelijke fracties o Eenvoudige breuken wordt gebruikt in algebra en wiskundige berekening om een rationele expressie te ontbinden, waardoor een algebraïsche som van eenvoudiger fracties achterblijft.

Als de aanvullende eenvoudige breuken, wordt de berekening van bewerkingen zoals derivaten en integralen onder andere gefaciliteerd.

Overweeg respectievelijk de volgende rationele algebraïsche expressie, die bestaat uit polynomen P (x) en Q (x) in de teller en de noemer:

U wilt deze uitdrukking schrijven als de som van kleinere breuken. Om dit te doen, moet worden opgemerkt dat polynoom Q (x) in de noemer een vierkante trinomiaal is, dat snel factor kan zijn, als een product van twee factoren:

X²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Daarom blijft de vorige uitdrukking als volgt:

Deze manier om de som van breuken te kennen, leidt deze manier om de uitdrukking gemakkelijk tot deze andere te schrijven:

Het blijft om de waarden van A en B te vinden, zodat de oorspronkelijke uitdrukking wordt uitgedrukt als de som van deze twee kleinere fracties. Voor het getoonde voorbeeld zijn de waarden: a = 3 en b = 2, en de lezer kan bevestigen dat in feite de som:

Het is gelijk aan de oorspronkelijke uitdrukking:

Gezien dat:

Hoe worden gedeeltelijke breuken berekend?

Er zijn methoden voor de berekening van de coëfficiënten die moeten gaan in de tellers van de eenvoudige breuken, die afhankelijk zijn van de vorm van de oorspronkelijke rationele expressie, dat wil zeggen op de vorm van P (x)/Q (x).

In de eerste plaats moet worden herinnerd dat, wanneer de mate van P (x) minder is dan die van Q (x), het een eigen rationele uitdrukking, En als het tegenovergestelde optreedt, is het een onjuiste rationele expressie.

De methoden om te ontbinden in eenvoudige breuken verwijzen naar hun eigen algebraïsche uitdrukkingen, als ze dat niet zijn, moeten ze eerst worden verminderd, waarbij de divisie -bewerking P (x)/Q (x) wordt uitgevoerd,.

Het kan u van dienst zijn: trigonometrische identiteiten (voorbeelden en oefeningen)

Dan is het doel om de tellers van elk van de breuken te vinden, waarvoor vier gevallen worden onderscheiden, die afhankelijk zijn van de factorisatie van de noemer Q (x).

Case 1: De factoren van Q (x) zijn lineair en niet herhaald

Als de factoren van Q (x) lineair zijn en niet herhaald zijn, zijn ze van de vorm (X-A_Je):

Q (x) = (x -a₁)(voor₂)… (voor_N))

Met een₁ ≠ a₂≠ a₃… ≠ a_N, dat wil zeggen, alle factoren van Q (x) zijn verschillend, de rationele uitdrukking wordt geschreven als:

De waarden van een₁, NAAR₂, NAAR₃… NAAR_N, Ze moeten worden bepaald. De rationele uitdrukking die in het begin wordt getoond, is een voorbeeld van deze zaak.

Case 2: Q (x) heeft herhaalde lineaire factoren

Als q (x) bestaat uit een herhaalde factor van de vorm (x - a)^N, Met n ≥ 2 wordt ontleding in gedeeltelijke fracties als volgt uitgevoerd:

Zoals in het vorige geval, moeten coëfficiënten worden bepaald door algebraïsche procedures.

Geval 3: Q (x) heeft een niet -herhaalde onherleidbare kwadratische factor

Als door q (x) te factureren, verschijnt een onherleidbare kwadratische factor van de bijlvorm²+Bx+c, voor deze factor, in de ontleding moet worden opgenomen, een toevoeging met deze vorm:

De waarden van A en B moeten worden gevonden.

Geval 4: Q (x) heeft een onherleidbare en herhaalde kwadratische factor

Ervan uitgaande dat de factorisatie van Q (x) een onherleidbare en herhaalde kwadratische factor bevat²+Bx+c)^N, De volgende adders moeten worden opgenomen:

Zoals altijd moeten de benodigde coëfficiënten worden berekend. De onderstaande voorbeelden tonen de vereiste algebraïsche procedures.

Voorbeelden van gedeeltelijke breuken

voorbeeld 1

De volgende eigen rationele uitdrukking:

Het wordt al geleverd met de gefactoriseerde noemer, bestaande uit twee niet -herhaalde lineaire factoren, dus Q (x) is:

Q (x) = (x+2) (x -1)

Vervolgens komt de ontleding in de gezochte gedeeltelijke breuken overeen met geval 1, die kan schrijven:

Om de respectieve waarden van A en B te vinden, wordt de som van gelijkheid uitgevoerd:

Kan u van dienst zijn: ellips

Egaliseren van tellers:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Distributieve eigendommen toepassen en vergelijkbare voorwaarden groeperen:

Axe - A + Bx + 2b = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

De coëfficiënt (a+b) is gelijk aan 3, omdat beide aan weerszijden van gelijkheid vergezellen met de term die "x" bevat. Van zijn kant is de coëfficiënt (−a+2b) gelijk aan 0, omdat er naar het recht van gelijkheid geen andere soortgelijke term is.

Het volgende systeem van twee vergelijkingen met twee onbekenden wordt vervolgens gevormd:

A+B = 3
−a+2b = 0

Wiens oplossing is:

A = 2
B = 1

Daarom:

De lezer kan gelijkheid controleren en de som van secties aan de rechterkant uitvoeren.

Voorbeeld 2

In deze andere uitdrukking:

Factorized ook, het uiterlijk van de herhaalde term (x+1) wordt waargenomen², Naast de lineaire term (x+2). In dat geval is de ontleding in gedeeltelijke breuken, zoals aangegeven in geval 2,:

Om de waarden van A, B en C te vinden, wordt de som van het recht uitgevoerd en wordt alleen de teller gebruikt:

De teller van de resulterende uitdrukking is gelijk aan die van de oorspronkelijke uitdrukking en ontwikkelt zich algebraïsch om de vergelijkbare termen te scheiden:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+b (x²+3x+2)+c (x+2) = x --3

(A+B) X²+ (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Uit het resultaat is een systeem van drie vergelijkingen met drie onbekenden A, B en C:

A + B = 0
2a+3b+c = 1
A+2b+2c = −3

De systeemoplossing is:

A = −5
B = 5
C = −4

De ontleding in gevraagde gedeeltelijke breuken is:

Oefening opgelost

Deze sectie toont een opgeloste oefening die de toepassing van de methode van gedeeltelijke breuken of eenvoudige breuken illustreert, op de berekening van onbepaalde integralen. Het doel is om de integratie op een eenvoudiger manier te schrijven.

Eenmaal herschreven, worden de resulterende eenvoudige integralen gezocht in een tabel of opgelost door een eenvoudige variabele wijziging.

Kan u van dienst zijn: historische achtergrond van analytische geometrie

Er wordt gevraagd om de volgende integraal te berekenen:

Oplossing

De eerste is om te verifiëren dat de integratie inderdaad een eigen rationele algebraïsche uitdrukking is, omdat de mate van de teller minder is dan die van de noemer. De noemer is gemakkelijk factoren en blijft:

Daarom is Q (x):

Q (x) = x (x²+2)

En het bestaat uit een lineaire term: x en een onherleidbare kwadratische term die niet herhaald is: x x²+2 Daarom is het een combinatie van geval 1 en geval 3. De ontleding in gedeeltelijke breuken van de integratie is:

De som rechts van gelijkheid maken:

Zoals altijd werkt voor gedeeltelijke breuken alleen met de teller van de Sum -expressie, die altijd gelijk moet zijn aan die van de oorspronkelijke uitdrukking:

A (x²+ 2) + x (bx + c) = 2

Ontwikkelen:

Bijl²+ 2a + bx²+ Cx = 2

Groepering van vergelijkbare termen:

(A+B) X² + Cx + 2a = 2

Gelijk aan de coëfficiënten van dezelfde termen, wordt het opgelost systeem van vergelijkingen verkregen, met de onbekenden A, B en C:

A + B = 0
C = 0
2a = 2

Uit de tweede vergelijking is het al bekend dat C = 0 uit de laatste volgt dat a = 1, daarom b = -1, zodat de eerste. Met deze waarden wordt het verkregen:

Nu wordt het vervangen in de oorspronkelijke integraal:

En twee eenvoudige integralen met elementaire functies worden verkregen, gevonden in de tabellen of zijn een snelle resolutie.

De eerste ide die deze integrale is, is elementair:

En de tweede integraal:

Het wordt opgelost met de volgende variabele wijziging: u = x²+4, du = 2xdx, die aanleiding geeft tot:

Retourneer de verandering van variabele:

Ten slotte wordt het verzamelen van beide resultaten bepaald, de oplossing wordt bepaald:

De twee integratieconstanten gaan in één, genaamd C.

Referenties