Basis- en dimensievectorruimte, axioma's, eigenschappen

A vectoriale ruimte Het is een niet -lege set V= of, v, W,…, wiens elementen vectoren zijn. Met hen worden enkele belangrijke bewerkingen uitgevoerd, waaronder het volgende opvallen:

- Som tussen twee vectoren U + V als gevolg Z, die tot het geheel toebehoort V.

- Vermenigvuldiging van een reëel getal α door een vector v: α v dat geeft een andere vector En die tot V.

Artistieke visie op een vectorruimte. Bron: Pixabay

Om een ​​vector aan te duiden, gebruiken we vetgedrukt (v Het is een vector), en voor de scalars of cijfers Griekse letters (α is een getal).

[TOC]

Axioma's en eigenschappen

Om een ​​vectorruimte te zijn, moeten de volgende acht axioma's worden vervuld:

1-conmutabiliteit: of +v = v +of

2-transitiviteit: ((of + v)) + W = of + (( v + W))

3-bestaan ​​van de nulvector 0 zoals dat 0 + v = v

4-bestaan ​​van het tegenovergestelde: het tegenovergestelde van v is ((-v)) , Gegeven dat v + ((-v) = 0

5-productdistributiviteit met betrekking tot de vector som: α ( of + v ) = αof +αv

6-productverdeling met betrekking tot de scalaire som: (α + β)v = αv +βv

7-associativiteit van het scalaire product: α (β v) = (α β)v

8-Het nummer 1 Het is het neutrale element sinds: 1v = v

Voorbeelden van vectorruimtes

voorbeeld 1

Vectoren in het vlak (r²) zijn een voorbeeld van vectorruimte. Een vector in het vlak is een geometrisch object met grootte en richting. Het wordt weergegeven door een georiënteerd segment dat behoort tot het genoemde vlak en met een grootte die evenredig is aan de omvang ervan.

De som van twee vectoren in het vlak kan worden gedefinieerd als de geometrische werking van de tweede vector na de eerste. Het resultaat van de som is het georiënteerde segment dat begint bij de oorsprong van de eerste en de punt van de tweede bereikt.

In de figuur kan worden opgemerkt dat de som in R² commutatief is.

Figuur 2. Vectoren in de vlakke vectorruimte. Bron: zelf gemaakt.

Het product van een a -nummer wordt ook gedefinieerd door een vector. Als het nummer positief is, wordt het oorspronkelijke vectoradres gehandhaafd en is de grootte α maal de oorspronkelijke vector. Als het nummer negatief is, is het adres het tegenovergestelde en is de resulterende vectormrootte de absolute waarde van het nummer.

De vector tegen een vector v is -v = (-1) v.

De nulvector is een punt in het r² -vlak en het nulnummer door een vector resulteert in de nulvector.

Alles gezegd wordt geïllustreerd in figuur 2.

Voorbeeld 2

Set P Van alle polynomen kleiner dan of gelijk aan twee, inclusief de nulkwaliteit, vormen ze een set die voldoet aan alle axioma's van een vectorruimte.

Het kan u van dienst zijn: wederzijds exclusieve gebeurtenissen: eigenschappen en voorbeelden

Wees de polynoom p (x) = a x² + b x + c y q (x) = d x² + e x + f

De som van twee polynomen is gedefinieerd: p (x) + q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

De som van polynomen die tot het geheel behoren P Het is commutatief en overgankelijk.

De nulpolynoom die tot het geheel behoort P Het is er een die al zijn coëfficiënten heeft die gelijk zijn aan nul:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

De som van een α -scalaire wordt gedefinieerd door een polynoom zoals: α P (x) = α ∙ A x² + α α ∙ B x + α α C

Het tegenovergestelde polynoom van p (x) is -p (x) = (-1) p (x).

Uit al het bovenstaande volgt dat de set P Van alle polynomen kleiner dan of gelijk aan twee, het is een vectorruimte.

Voorbeeld 3

Set M van alle matrices van M rijen x n kolommen waarvan de elementen reële getallen zijn, vormen een echte vectorruimte, met betrekking tot de som van matrices en product van een getal door een matrix.

Voorbeeld 4

De set F van continue functies van reële variabele, vormt een vectorruimte, omdat de som van twee functies kan worden gedefinieerd, de vermenigvuldiging van een scalaire door een functie, de nulfunctie en de symmetrische functie. Ze vervullen ook de axioma's die een vectorruimte karakteriseren.

Basis en dimensie van een vectorruimte

Baseren

Een set lineair onafhankelijke vectoren wordt gedefinieerd als de basis van een vectorruimte zodat vanuit een lineaire combinatie daarvan elke vector van die vectorruimte kan worden gegenereerd.

Lineair combineren van twee of meer vectoren bestaat uit het vermenigvuldigen van vectoren met een scalair en voeg ze vervolgens vectorly toe.

In de vectorruimte van vector wordt bijvoorbeeld in drie dimensies gevormd door r³ de canonieke basis gedefinieerd door de eenheidsvectoren (van grootte 1) gebruikt (van grootte 1) Je, J, k.

Waar Je = (1, 0, 0); J = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Dit zijn Cartesiaanse of canonieke vectoren.

Elke vector V behorend tot r³ is geschreven als V = A Je + B J + C k, wat een lineaire combinatie is van basisvectoren Je, J, k. Scalars of cijfers A, B, C staan ​​bekend als Cartesiaanse componenten van V.

Er wordt ook gezegd dat de basisvectoren van een vectorruimte een set vectorruimte vormen.

Dimensie

De dimensie van een vectorruimte is het hoofdnummer van een vectorbasis voor genoemde ruimte; Dat wil zeggen, het aantal vectoren dat de basis uitmaakt.

Deze kardinaal is het maximale aantal lineair onafhankelijke vectoren van die vectorruimte, en tegelijkertijd het minimale aantal vectoren dat een genererende set van genoemde ruimte vormen.

Kan u van dienst zijn: statistische bevolking: concept, typen, voorbeelden

De bases van een vectorruimte zijn niet uniek, maar alle bases van dezelfde vectorruimte hebben dezelfde dimensie.

Vector subruimte

Een vector -subruimte van een vectorruimte V is een subset van V waarin dezelfde bewerkingen worden gedefinieerd als in V en alle axioma's van vectorruimte vervult. Daarom zal subruimte ook een vectorruimte zijn.

Voorbeeld van vector subruimte zijn de vectoren die tot het XY -vlak horen. Deze subruimte is een subset van een vectorruimte van dimensionaliteit groter dan de set vectoren die behoren tot de drie -dimensionale ruimte XYZ.

Een ander voorbeeld van vector subruimte S1 van de vectorruimte wordt gevormd door alle 2 × 2 matrices met echte elementen is het hieronder gedefinieerd:

Aan de andere kant, S2 hieronder gedefinieerd, hoewel het een subset van S is, vormt het geen vector subruimte:

Opgeloste oefeningen

-Oefening 1

Wees de vectoren V1= (1, 1, 0); V2= (0, 2, 1) en V3= (0, 0, 3) in r³.

a) Bewijs dat ze lineair onafhankelijk zijn.

b) Bewijs dat ze een basis vormen in r³, omdat elke lijst (x, y, z) kan worden geschreven als een lineaire combinatie van v1, v2, v3.

c) Zoek de componenten van de lijst V = (-3,5,4) aan de basis V1, V2, V3.

Oplossing

Het criterium voor het aantonen van lineaire onafhankelijkheid is het vaststellen van de volgende reeks vergelijkingen in α, β en γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

In het geval dat de enige oplossing voor dit systeem α = β = γ = 0 is, zijn de vectoren lineair onafhankelijk, anders zijn ze niet.

Om de waarden van α, β en γ te bereiken, stellen we het volgende systeem van vergelijkingen voor:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

De eerste leidt tot α = 0, de tweede α = -2 ∙ β maar als α = 0 dan β = 0. De derde vergelijking impliceert dat γ = (-1/3) β, maar als β = 0 dan γ = 0.

Antwoord op

Er wordt geconcludeerd dat het een reeks lineair onafhankelijke vectoren is in R³ .

Antwoord B

Laten we nu de lijst (x, y, z) schrijven als een lineaire combinatie van v1, v2, v3.

(x, y, z) = α v1 + β v2 + γ v3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

Het kan u van dienst zijn: Tukey -test: wat is, in het geval van bijvoorbeeld, opgeloste oefening

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Waar je hebt:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

De eerste geeft α = x aan, de tweede β = (y-x)/2 en de derde γ = (z- y/2 +x/2)/3. Op deze manier hebben we de generatoren van α, β en γ van elke R³ -lijst gevonden 

Antwoord C

Laten we de componenten van de lijst vinden V = (-3,5,4) aan de basis V1, V2, V3.

We vervangen de overeenkomstige waarden in de hierboven gevonden uitdrukkingen voor de generatoren.

In dit geval hebben we: α = -3; β = (5-(-3))/2 = 4; γ = (4- 5/2 +(- 3)/2)/3 = 0

Dat is:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Eindelijk:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Dat concluderen we V1, v2, v3 Ze vormen een basis in de vectorruimte r³ van dimensie 3.

-Oefening 2

Express polynoom P (t) = t² + 4t -3 als een lineaire combinatie van p1 (t) = t² -2t + 5, p2 (t) = 2t² -3t en p3 (t) = t + 3.

Oplossing

P (t) = x p1 (t) + en p2 (t) + z p3 (t)

waar de getallen x, y, z moeten worden bepaald.

Door termen te vermenigvuldigen en te groeperen met dezelfde mate in t wordt het verkregen:

T² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Dat leidt ons naar het volgende systeem van vergelijkingen:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

De oplossingen van dit systeem van vergelijkingen zijn:

x = -3, y = 2, z = 4.

Dat is:

P (t) = -3 p1 (t) + 2 p2 (t) + 4 p3 (t)

-Oefening 3

Laat die vectoren zien V1= (1, 0, -1, 2); V2= (1, 1, 0, 1) en V3= (2, 1, -1, 1) van R⁴ zijn lineair onafhankelijk.

Oplossing

We combineren de drie vectoren lineair V1, V2, V3 En we eisen dat de combinatie het nul -element van R⁴ toevoegt

naar V1 + B V2 + C V3 = 0

Het is te zeggen,

A (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Dit leidt ons naar het volgende systeem van vergelijkingen:

A + B + 2 C = 0

B + C = 0

-A - C = 0

2 A + B + C = 0

De eerste en vierde aftrekken hebben we: -a + c = 0 Wat impliceert a = c.

Maar als we naar de derde vergelijking kijken, moeten we = -c. De enige manier om a = c = (-c) te ontmoeten, is dat C 0 is en daarom ook 0 zal zijn.

A = C = 0

Als we dit resultaat in de eerste vergelijking vervangen, concluderen we dat B = 0.

Ten slotte a = b = c = 0, dus kan worden geconcludeerd dat vectoren v1, v2 en v3 lineair onafhankelijk zijn.

Referenties

1. Lipschutz, s. 1993. Lineaire algebra. Tweede druk. McGraw - Hill. 167 - 198.