Wiskunde

Ovaal

Ovaal
Figuur 1. Gardener -methode om een ​​ellips te tekenen. De som van de afstanden tussen een punt P van de ellips (in rood) en de schijnwerpers (in zwart), blijft constant. Bron: Ag2gaeh, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons.

Wat is een ellips?

Een ellips is een set coördinaatpunten (x, y), waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten, genoemd, genoemd Focus, het is constant. Op zijn beurt worden de schijnwerpers van elkaar gescheiden een afstand gelijk aan 2c.

De ellipsen zijn in de natuur te vinden. Het is bijvoorbeeld in de beweging van de aarde rond de zon, zoals aangetoond door de Duitse astronom.

Bovendien wordt de elliptische vorm gevonden in het ontwerp van architecturale constructies, maakt deel uit van een medische behandeling om nierberekeningen te vernietigen en dient om verschillende objecten zoals tanks en andere containers vorm te geven.

In de bovenste figuur wordt een ellips getoond met zijn twee schijnwerpers, op gelijke afstand van het midden van de figuur en op de langste as. De voorwaarde dat een punt P moet voldoen om bij de ellips te behoren, is dat de som van de afstanden tot elke focus is vastgesteld:

D1 + D2 = constant.

Daarom, wanneer een tuinman wil. Neem dan een touw van goede grootte, bind de uiteinden aan de inzet en steun een stok op het touw erover schuivend om de elliptische groef op de zachte aarde te markeren. Dit is de tuinman -methode Om ellipsen te tekenen.

Elipse elementen

Hoofdelementen van een ellips

Dit zijn de belangrijkste elementen van de ellips:

  1. Focus, Vaste punten op de langste as van de ellips.
  2. Hoekpunten, Zij zijn de twee punten van de ellips waardoor de lijn voorbijgaat die zich bij de schijnwerpers voegt.
  3. Grote as, Het is het touw dat zich bij de hoekpunten voegt en ook de schijnwerpers bevat.
  4. Centrum, Middenpunt van de hoofdas, die overeenkomt met het coördinaatpunt (H, K). Elke focus is op gelijke afstand van het midden en op afstand C van hetzelfde.
  5. Kleine as, Het is het touw dat door het midden gaat en loodrecht staat op de hoofdas.
  6. Vectorradio, segmenten die elke focus verenigen met een p van de ellips.
  7. Brandpuntsas, rechtstreeks waarop de schijnwerpers zijn.
  8. Focusafstand, Het is de afstand tussen de schijnwerpers, aangeduid als 2c.
  9. Secundaire as, as loodrecht op de hoofdas, die tegelijkertijd mediatrix is ​​van het segment dat aan de schijnwerpers bindt.
  10. Symmetriecentrum, Punt valt samen met het midden van de ellips, waar de symmetrieassen van dezelfde zijn gekruist.
  11. Symmetrie -assen, lijnen die de grootste en kleinere assen van de ellips bevatten.
Kan u van dienst zijn: belastend

Soorten ellips

Er zijn twee soorten ellips:

  • Degenen die de hoofdas horizontaal hebben.
  • Degenen die de grootste verticale as hebben.

Dan worden ze wiskundig beschreven:

Ellips met de belangrijkste horizontale as

Laat punt C van coördinaten (h, k) het midden van de ellips, de lengte van de hoofdas is 2a en de lengte van de kleinere as gelijk aan 2B, met a> b.

De vergelijking van deze ellips is:

Ellips met de belangrijkste verticale as

Met dezelfde parameters van de ellips met een horizontale as, is de ellips met de belangrijkste verticale as geschreven als:

In beide gevallen, de afstand van de focus tot het centrum C Het is gerelateerd aan de sedimenten major en minor via:

C2 = A2 - B2

Voorbeelden van ellipsen

Horizontale ellips

De volgende afbeelding toont een ellips waarvan de belangrijkste as horizontaal is. Het centrum bevindt zich op punt (0,0) en de schijnwerpers in respectievelijk (-3.0) en (3.0). Punt P (0, -4) gemarkeerd is van de ellips behoort.

Figuur 2.- Ellips wiens belangrijkste as horizontaal is. Bron: f. Zapata door Geogebra.

De vergelijking van deze ellips is:

16x2 + 25 en2 = 400

Het is niet moeilijk om deze vergelijking in de canonieke vorm uit te drukken, het is voldoende om alle voorwaarden tussen 400 te verdelen en gemakkelijk te vereenvoudigen (zie de oefening later opgelost).

Verticale ellips

Het volgende is een verticale ellips, waarvan de hoofdas samenvalt met de as en. Het is gericht op punt (0,0) en de vergelijking ervan is:

36X2 + 9y2 = 324

figuur 3.- Een ellips met de belangrijkste verticale as. Bron: f. Zapata door Geogebra.

Reflectie -eigenschap

Het bestaat uit het volgende: als een reflector of een geluidsbron in een van de ellipsspotlights wordt geplaatst, worden de uitgezonden golven weerspiegeld in de richting van de andere focus. Het is een goede manier om de golven om te leiden waar uw energie nodig is.

Kan je van dienst zijn: endecagon

Dat is de reden waarom in de elliptische zalen, wanneer een persoon spreekt in een van de schijnwerpers, een luisteraar in de andere focus duidelijk luistert.

En in de geneeskunde wordt deze reflectie -eigenschap gebruikt om nierstenen te vernietigen door de patiënt in een van de schijnwerpers van een elliptisch bad vol water te plaatsen, terwijl de echografie -golfgenerator in de andere focus wordt geplaatst. De golven worden weerspiegeld in de berekeningen en fragmenteren ze in kleinere deeltjes, die vervolgens door de urine worden verdreven.

De ska -radio

Deze radiotelescoop is de grootste in zijn type en zal naar verwachting in 2021 beginnen te werken. Het oppervlak is 1 km vierkant en daarom wordt het ska genoemd (in het Engels zijn ze het acroniem voor Vierkante kilometer array)).

Gebruikmakend van het reflectie -eigendom van de ellipsen, bestaat de structuur uit een opstelling van 3000 antennes met elliptische vorm van ongeveer 15 m breed, verspreid tussen Australië en Zuid -Afrika. Met dit instrument, 50 keer gevoeliger dan die in gebruik nu, wordt verwacht dat het een kijkje neemt in het universum als het nog veel jonger was: ongeveer een miljard jaar nauwelijks.

Figuur 4.- Artistieke interpretatie van de Ska Radio Ska. Bron: Wikimedia Commons.

Oefening opgelost

Vind de canonieke vergelijkingen van de ellipsen getoond in figuren 2 en 3 en bepaal in elk geval de lengtes van de zintuigen groter en kleiner, evenals focale afstanden.

Oplossing

Voor de horizontale ellips, wiens vergelijking 16x is2 + 25 en2 = 400, alle voorwaarden tussen 400 zijn verdeeld, resulterend:

Kan u van dienst zijn: Cotangent afgeleid: berekening, demonstratie, oefeningen

 Die vereenvoudigd is:

De semi -as "A" meet 5 en de minste "B" meet 4, wat ook wordt gewaarschuwd door het beeld zorgvuldig te observeren. Wat betreft de brandpuntsafstand, je moet:

C2 = A2 - B2

C2 = 25 - 16 = 9 ⇒ C = √9 = 3

Daarom is C = 3 de afstand tussen het midden en een van de schijnwerpers. Beide foci zijn een afstand 2c = 6.

Wat betreft de verticale ellips 36x2 + 9y2 = 324 je hebt:

Door te vereenvoudigen:

C2 = 36 - 9 = 27

C = √27 ≅ 5.2

Daarom is de afstand tussen de schijnwerpers 10.4 eenheden.

Referenties

  1. Hoffman, J. Selectie van wiskundeproblemen. Deel 3.
  2. Stewart, J. 2006. Precculment: wiskunde voor berekening. 5e. Editie. Cengage leren.
  3. Universe -formules. De ellips. Hersteld van: UniversOFormulas.com.
  4. Wikipedia. Vierkante kilometer array. Hersteld van: is.Wikipedia.borg.
  5. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. McGraw Hill.